Limite
Ciao a tutti devo svolgere questo limite : $ lim (x-2) / (1-sen^2x) $ con $ x-> pi/2 $ . Ho provato sostituendo il sen^2 con la relazione fondamentale.. e dopo qualche calcolo dovrebbe venire 0 ma non ne sono molto convinto.. sapete aiutarmi? grazie
Risposte
questo limite dovrebbe fare $-\infty$...non hai nessuna forma indeterminata...infatti il numeratore tende a
$\pi/2-2$ che è un numero negativo poichè $\pi/2<2$ e il denominatore tende a $0$...
$\pi/2-2$ che è un numero negativo poichè $\pi/2<2$ e il denominatore tende a $0$...
scusa la domanda stupida , quindi se in una frazione il numeratore tende a un munero minore di 0 e il denominatore a 0 il limite è - infinito? Cioè io so che fa meno infinito se il rapporto tra num. e denom. è minore di zero ma il denominatore non dovrebbe essere diverso da zero? Scusa per la stupidità della domanda ma.. a che ci sono chiedo.
Ciao,
dipende se il denominatore tende a zero rimanendo negativo o tende a zero rimanendo positivo. Nel tuo caso sia che $x rarr (pi/2)^-$ sia che $x rarr (pi^+)/2$ (cioè in un intorno completo di $pi/2$ escluso $pi/2$) il denominatore è positivo, mentre nello stesso intorno il numeratore è negativo. Pertanto nell'intorno suddetto il rapporto è negativo e si fa via via più grande man mano che tendendo $x$ a $pi/2$ il denominatore si fa sempre più piccolo
dipende se il denominatore tende a zero rimanendo negativo o tende a zero rimanendo positivo. Nel tuo caso sia che $x rarr (pi/2)^-$ sia che $x rarr (pi^+)/2$ (cioè in un intorno completo di $pi/2$ escluso $pi/2$) il denominatore è positivo, mentre nello stesso intorno il numeratore è negativo. Pertanto nell'intorno suddetto il rapporto è negativo e si fa via via più grande man mano che tendendo $x$ a $pi/2$ il denominatore si fa sempre più piccolo
va bene la tua osservazione anche se è ridondante perchè $\sinx\inC^{\infty}$ e quindi non c'è bisogno
di distinguere limite destro e limite sinistro perchè essi coincidono in quanto $\sinx$ è continua....
nel caso generale è corretta....
di distinguere limite destro e limite sinistro perchè essi coincidono in quanto $\sinx$ è continua....
nel caso generale è corretta....
@steven:
Ciao!
Detta così potrebbe sembrare che,
se il denominatore è un infinitesimo di classe $C^(oo)$ ed il numeratore converge ma non è infinitesimo,
non occorra considerare i limiti dx e sx suggeriti dal buon Z. "per prudenza";
se intendevi questo,quando parlavi di "ridondanza",
t'invito a notare che ci sarebbe bisogno di distiguere i limiti dx ed sx,
per capire che ad esempio $nexistslim_(xto(pi/2))(x-2)/(cosx)$:
e ciò è indispensabile nonostante il fatto che $cosx inC^(oo)(RR)$..
Sarebbe stato un altro paio di maniche,certamente,
se invece si fosse voluta capire l'esistenza di $lim_(xto(pi/2))|(x-2)/(cosx)|$,
così come è anche vero che Z. avrebbe messo tutti d'accordo dicendo semplicemente che $EElim_(xto(pi/2))(1-sen^2x)=0^+$:
scusa la specificazione,
ma m'è venuto il forte dubbio che potesse esser necessaria per chi dovesse aver inteso le tue parole in modo diverso dal significato che sicuramente volevi darvi..
Saluti dal web.
Ciao!
Detta così potrebbe sembrare che,
se il denominatore è un infinitesimo di classe $C^(oo)$ ed il numeratore converge ma non è infinitesimo,
non occorra considerare i limiti dx e sx suggeriti dal buon Z. "per prudenza";
se intendevi questo,quando parlavi di "ridondanza",
t'invito a notare che ci sarebbe bisogno di distiguere i limiti dx ed sx,
per capire che ad esempio $nexistslim_(xto(pi/2))(x-2)/(cosx)$:
e ciò è indispensabile nonostante il fatto che $cosx inC^(oo)(RR)$..
Sarebbe stato un altro paio di maniche,certamente,
se invece si fosse voluta capire l'esistenza di $lim_(xto(pi/2))|(x-2)/(cosx)|$,
così come è anche vero che Z. avrebbe messo tutti d'accordo dicendo semplicemente che $EElim_(xto(pi/2))(1-sen^2x)=0^+$:
scusa la specificazione,
ma m'è venuto il forte dubbio che potesse esser necessaria per chi dovesse aver inteso le tue parole in modo diverso dal significato che sicuramente volevi darvi..
Saluti dal web.
Ciao a tutti,
grazie ancora Theras per la precisazione. In effetti non avevo capito bene le parole di Steven86 che comunque ringrazio per il suo intervento perché mi ha dato da riflettere e tutto ciò che mi fa riflettere è cosa buona. Come al solito esponi le cose sempre meglio di me, io stavo appunto tentando di far capire a pongo che quando il denominatore diventa infinitesimo occorre considerare se è $0^+$ o $0^-$ per decidere il segno del limite nel caso il numeratore converga ma non sia infinitesimo. Vorrei a questo punto fare una domanda; che ruolo gioca in questo discorso il fatto che una funzione è di classe $C^(oo)$? Non sarebbe sufficiente se fosse di classe $C^0$?
grazie ancora Theras per la precisazione. In effetti non avevo capito bene le parole di Steven86 che comunque ringrazio per il suo intervento perché mi ha dato da riflettere e tutto ciò che mi fa riflettere è cosa buona. Come al solito esponi le cose sempre meglio di me, io stavo appunto tentando di far capire a pongo che quando il denominatore diventa infinitesimo occorre considerare se è $0^+$ o $0^-$ per decidere il segno del limite nel caso il numeratore converga ma non sia infinitesimo. Vorrei a questo punto fare una domanda; che ruolo gioca in questo discorso il fatto che una funzione è di classe $C^(oo)$? Non sarebbe sufficiente se fosse di classe $C^0$?
si ragazzi avete ragione: non sono stato troppo "rigoroso" perchè
pensavo non servisse...io mi riferivo all'esercizio nello specifico...
nel caso generale va fatta quell'osservazione (ma mi sembra di averlo detto)...
si si cmq basta $C^{0}$....ho usato il $C^{\infty}$ per sottolineare un'ulteriore
proprietà del seno....
pensavo non servisse...io mi riferivo all'esercizio nello specifico...
nel caso generale va fatta quell'osservazione (ma mi sembra di averlo detto)...
si si cmq basta $C^{0}$....ho usato il $C^{\infty}$ per sottolineare un'ulteriore
proprietà del seno....
"steven86":
nel caso generale è corretta....
si infatti l'avevi scritto, quello che mi aveva dato da pensare era l'appartenenza a $C^(oo)$. Ora mi confermi che è sufficiente l'appartenenza a $C^0$. Grazie
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