Limite
Salve, ho dei problemi con questo limite
$ lim_(x -> 1^+) (cos(1-x^2)-1)/(x^2-1)^a-1/2 $
Per cominciare se a<0 il limite fa -1/2 se a>0 mi trovo nella forma indeterminata 0/0. apllicando il confronto asintotico
$ lim_(x -> 1^+) (1-x^2)^2/(2(x^2-1)^a)-1/2 $
ma non riesco più ad andare avanti... forse posso moltiplicare per -1 all interno della parentesi sopra? quando applico il conf. asintotico è corretto riportare anche -1/2?
Grazie
$ lim_(x -> 1^+) (cos(1-x^2)-1)/(x^2-1)^a-1/2 $
Per cominciare se a<0 il limite fa -1/2 se a>0 mi trovo nella forma indeterminata 0/0. apllicando il confronto asintotico
$ lim_(x -> 1^+) (1-x^2)^2/(2(x^2-1)^a)-1/2 $
ma non riesco più ad andare avanti... forse posso moltiplicare per -1 all interno della parentesi sopra? quando applico il conf. asintotico è corretto riportare anche -1/2?
Grazie
Risposte
Confronta $a$ con 2, cioè vedi come si comporta il limite al variare di $a$
eh, ma se potessi fare $ 1/(2(x^2-1)^(a-2))-1/2 $ moltiplicando per -1 all interno della parentesi sopra....altrimenti non lo posso fare....
$(1-x^2)^2 = (x^2-1)^2$
grazie!! era questo che volevo sapere
questo esercizio mi sta dando più problemi del previsto....in realtà si tratta della continuità e derivabilità di una funzione così definita:
$ (cos(1-x^2)-1)/(x^2-1)^a-1/2 $ per $ x>1 $
$ b $ per $ x=1 $
$ log(1+|x-1|)/(x-1) $ per $ x<1 $
abbiamo trovato che il limite destro vale $ -1/2 $ se $ x<2 $ ; $ +oo $ se $ a>2 $ ; $ 0 $ se $ a=2 $
per quanto riguarda il limite sinistro sempre applicando il confronto asintotico ottengo
$ lim_(x -> 1^-) |x-1|/(x-1) $
il quale è uguale ad 1 se x>1, (da non considerare),
$ -lim_(x -> 1^-) (-1)(x-1)/(x-1)=1 $
quindi ho una discontinuità eliminabile,e la funzione risulta prolungabile per continuità se a<2 e $ b=1/2 $ oppure per a=2 e b=1 .....??
$ (cos(1-x^2)-1)/(x^2-1)^a-1/2 $ per $ x>1 $
$ b $ per $ x=1 $
$ log(1+|x-1|)/(x-1) $ per $ x<1 $
abbiamo trovato che il limite destro vale $ -1/2 $ se $ x<2 $ ; $ +oo $ se $ a>2 $ ; $ 0 $ se $ a=2 $
per quanto riguarda il limite sinistro sempre applicando il confronto asintotico ottengo
$ lim_(x -> 1^-) |x-1|/(x-1) $
il quale è uguale ad 1 se x>1, (da non considerare),
$ -lim_(x -> 1^-) (-1)(x-1)/(x-1)=1 $
quindi ho una discontinuità eliminabile,e la funzione risulta prolungabile per continuità se a<2 e $ b=1/2 $ oppure per a=2 e b=1 .....??
Allora:
Il limite destro vale:
$lim_{x \to 1^+} {1-(x^2-1)^2-1}/{(x^2-1)^a}=[ ( -1, a=2 ),( -1/2, a<2 ),( +\infty, a<2 )] $
mentre non ho capito dove compare $b$ nella funzione definita a sinistra di 1.
Se è definita così:
$f(x)=b*log(1+|x-1|}/{x-1}$ allora il limite per $x \to 1^-$ vale $-b$
per cui la funzione $f_{a,b}(x)$(che in realtà è una famiglia di funzioni dipendente dai parametri $a$ e $b$) è prolungabile per continuità in $x=1$ se $a=2$ e $b=1$,
ponendo $f_{2,1}(1):=-1$.
Per ogni $a<2$ la funzione $f_{a,b}$ è prolungabile per continuità solo se $b=-1/2$, ponendo naturalmente $f_{a,-1/2}:=0$
(chiedo scusa per il multiedit, ho letto male i risultati)
Il limite destro vale:
$lim_{x \to 1^+} {1-(x^2-1)^2-1}/{(x^2-1)^a}=[ ( -1, a=2 ),( -1/2, a<2 ),( +\infty, a<2 )] $
mentre non ho capito dove compare $b$ nella funzione definita a sinistra di 1.
Se è definita così:
$f(x)=b*log(1+|x-1|}/{x-1}$ allora il limite per $x \to 1^-$ vale $-b$
per cui la funzione $f_{a,b}(x)$(che in realtà è una famiglia di funzioni dipendente dai parametri $a$ e $b$) è prolungabile per continuità in $x=1$ se $a=2$ e $b=1$,
ponendo $f_{2,1}(1):=-1$.
Per ogni $a<2$ la funzione $f_{a,b}$ è prolungabile per continuità solo se $b=-1/2$, ponendo naturalmente $f_{a,-1/2}:=0$
(chiedo scusa per il multiedit, ho letto male i risultati)
il limite destro per quanto lo guardo e riguardo mi viene zero in a=2....
$ b $ è il valore della funzione in 1
e il limite sinistro è
$ lim_(x -> 1^-) |x-1|/(x-1) $
quindi dire che sopra ho sbaglio, e la funzione non può essere prolungata per continuita....?
$ b $ è il valore della funzione in 1
e il limite sinistro è
$ lim_(x -> 1^-) |x-1|/(x-1) $
quindi dire che sopra ho sbaglio, e la funzione non può essere prolungata per continuita....?
Per semplicità scriviamo: $cos(1-x^2)=cos(x^2-1)$, vero poichè il coseno è una funzione pari.
Per $x$ vicino a $1$ (in particolare in un intorno destro di $1$) vale:
$cos(x^2-1) = 1 -{(x^2-1)^2}/2 +O((x^2-1)^4)$, per cui il limite della tua funzione per $x\to 1^+$ è dato da:
$lim_{x\to 1^+} -1/2*{(x^2-1)^2}/{(x^2-1)^a} -1/2= -1$ se $a=2$.
Per cui la funzione è continua solo se $a=2$, per $b=-1$
Per $x$ vicino a $1$ (in particolare in un intorno destro di $1$) vale:
$cos(x^2-1) = 1 -{(x^2-1)^2}/2 +O((x^2-1)^4)$, per cui il limite della tua funzione per $x\to 1^+$ è dato da:
$lim_{x\to 1^+} -1/2*{(x^2-1)^2}/{(x^2-1)^a} -1/2= -1$ se $a=2$.
Per cui la funzione è continua solo se $a=2$, per $b=-1$
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