Limite
come si calcola: $ lim_(x -> +oo) n^2/sqrt(2^n) $ ? uscendo una forma 0/0 ho applicato l'Hopital ma continua ad uscire sempre una forma indeterminata, sapreste dirmi come calcolarlo??
Risposte
"annama":
uscendo una forma 0/0
??
io proverei a trasformare il denominatore e vederlo come $2^(n/2)$
ci deve essere anche un errore di battitura (è $n \to + \infty$)
"itpareid":
[quote="annama"]uscendo una forma 0/0
??
io proverei a trasformare il denominatore e vederlo come $2^(n/2)$
ci deve essere anche un errore di battitura (è $n \to + \infty$)[/quote]
ma trasformando il denominatore ho comunque una forma indeterminata $oo/oo$ quindi non risolvo nulla...
lo sai fare il confronto tra infiniti?
quale dei due è più "veloce"?
quale dei due è più "veloce"?
Ma se applichi de l'Hopital un paio di volte?
Che l'esponenziale è un infinito di ordine maggiore rispetto alla potenza è un fatto notevole. Ma se non vuoi darlo come fatto ovvio puoi usare il criterio del rapporto per le successioni, dopo aver fatto la trasformazione che ti ha consigliato itpareid. Altrimenti, puoi sempre utilizzare, come ti hanno detto, de L'Hopital. Ma secondo me fai prima con quel criterio.
"maxsiviero":
Ma se applichi de l'Hopital un paio di volte?
allora, in pratica è un limite che ci serve per calcolare la serie di Leibnitz e applicando più volte l'Hopital ci esce $oo$ ma per poter andare avanti nel calcolo della serie ci dovrebbe uscire $0$ al limite...e ci puzza perchè è una traccia d'esame ed è strano che possa dare una serie che non si può calcolare...
prova a postare i passaggi che hai fatto...
Ma il criterio del rapporto proprio non ti piace? Fai in tre secondi, fidati 
"annama":
[quote="maxsiviero"]Ma se applichi de l'Hopital un paio di volte?
allora, in pratica è un limite che ci serve per calcolare la serie di Leibnitz e applicando più volte l'Hopital ci esce $oo$ ma per poter andare avanti nel calcolo della serie ci dovrebbe uscire $0$ al limite...e ci puzza perchè è una traccia d'esame ed è strano che possa dare una serie che non si può calcolare...[/quote]
A me esce $0$ applicando 2 volte de l'Hopital
"maxsiviero":
[quote="annama"][quote="maxsiviero"]Ma se applichi de l'Hopital un paio di volte?
allora, in pratica è un limite che ci serve per calcolare la serie di Leibnitz e applicando più volte l'Hopital ci esce $oo$ ma per poter andare avanti nel calcolo della serie ci dovrebbe uscire $0$ al limite...e ci puzza perchè è una traccia d'esame ed è strano che possa dare una serie che non si può calcolare...[/quote]
A me esce $0$ applicando 2 volte de l'Hopital[/quote]
ma come ti fa ad uscire $0$? se non ti chiedo troppo, mi scriveresti tutti i passi del limite?grazie mille
Scusate, ma state applicando il teorema del marchese alle successioni? 
"gugo82":
Scusate, ma state applicando il teorema del marchese alle successioni?
la serie è una serie di Leibnitz e per poter andare oltre devo per forza calcolarmi questo limite per vedere se $an->0$.
Per il criterio di Leibnitz i passaggi sono: vedere se la serie è a termini positivi (e lo è), calcolare il $ lim_(n -> oo ) $ di $an$ (e non ci riesco) e vedere se $an>an+1$ (e non posso farlo se non riesco a calcolarmi il limite). Tutto qui.
Omg, ma nessuno mi dà retta? -_-
[tex]$\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{\sqrt{2}} < 1 \, \Rightarrow \, \lim_{n \to +\infty} a_n=0$[/tex]. Tre secondi, cvd.
[tex]$\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{\sqrt{2}} < 1 \, \Rightarrow \, \lim_{n \to +\infty} a_n=0$[/tex]. Tre secondi, cvd.
"Antimius":
Omg, ma nessuno mi dà retta? -_-
[tex]$\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{\sqrt{2}} < 1 \, \Rightarrow \, \lim_{n \to +\infty} a_n=0$[/tex]. Tre secondi, cvd.
nel criterio di Leibnitz non posso applicare il criterio del rapporto per svolgere il limite
Perché no? La tua serie immagino sia del tipo [tex]$\sum(-1)^na_n$[/tex]. Beh, Leibniz ti dice che se [tex]$a_n$[/tex] è a termini positivi, decrescente e infinitesima, allora la serie data converge. Il limite poi te lo calcoli come vuoi. Utilizzando il criterio del rapporto (per successioni a termini positivi, non per le serie), ad esempio, lo risolvi facilmente, a mio avviso.
Per fare quello che chiedi ci sono millemila modi.
Innanzitutto, si può calcolare il limite del rapporto (come suggerito da altri): se tale limite è [tex]$<1$[/tex], allora la tua [tex]$(a_n)$[/tex] è definitivamente strettamente decrescente.
Poi si può direttamente studiare la successione: infatti ipotizzando una relazione del tipo [tex]$a_{n+1}< a_n$[/tex] si arriva a:
[tex]$\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{2^n}{2^{n+1}}} < \left( \frac{n}{n+1}\right)^2=\left( 1-\frac{1}{n+1}\right)^2$[/tex]
ed il secondo membro è crescente in [tex]$n$[/tex] e tende a [tex]$1$[/tex], perciò esso è definitivamente maggiore del secondo membro e ciò assicura che la successione [tex]$(a_n)$[/tex] è definitivamente decrescente.
Inoltre si può studiare la funzione ausiliaria [tex]$f(x):=x^2 2^{-\frac{x}{2}}$[/tex]: derivando si trova [tex]$f^\prime (x)=2^{-1-\frac{x}{2}} (4-x\ln 2)$[/tex] che è definitivamente negativa, cosicché [tex]$f(x)$[/tex] è definitivamente strettamente decrescente e perciò [tex]$a_{n+1}=f(n+1)
Infine, agli applicatori folli del teorema del marchese chiedo: siete sicuri di poterlo applicare?
Innanzitutto, si può calcolare il limite del rapporto (come suggerito da altri): se tale limite è [tex]$<1$[/tex], allora la tua [tex]$(a_n)$[/tex] è definitivamente strettamente decrescente.
Poi si può direttamente studiare la successione: infatti ipotizzando una relazione del tipo [tex]$a_{n+1}< a_n$[/tex] si arriva a:
[tex]$\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{2^n}{2^{n+1}}} < \left( \frac{n}{n+1}\right)^2=\left( 1-\frac{1}{n+1}\right)^2$[/tex]
ed il secondo membro è crescente in [tex]$n$[/tex] e tende a [tex]$1$[/tex], perciò esso è definitivamente maggiore del secondo membro e ciò assicura che la successione [tex]$(a_n)$[/tex] è definitivamente decrescente.
Inoltre si può studiare la funzione ausiliaria [tex]$f(x):=x^2 2^{-\frac{x}{2}}$[/tex]: derivando si trova [tex]$f^\prime (x)=2^{-1-\frac{x}{2}} (4-x\ln 2)$[/tex] che è definitivamente negativa, cosicché [tex]$f(x)$[/tex] è definitivamente strettamente decrescente e perciò [tex]$a_{n+1}=f(n+1)
Infine, agli applicatori folli del teorema del marchese chiedo: siete sicuri di poterlo applicare?
Inizialmente non era chiaro che si trattasse del limite di una successione.
Visto che ci sono, vorrei porre una domanda a Gugo.
In questo caso ovviamente De l'Hopital non aiuta, ci sono metodi molto più semplici. Ma se la successione fosse stata più complicata e De l'Hopital fosse stato un aiuto, si sarebbe potuto applicarlo nel seguente modo?
-Considerare la funzione ausiliaria e risolvere il limite (in questo caso sarebbe stato [tex]$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{\sqrt{2^x}}$[/tex]) applicando de l'Hopital sulla funzione, dopo aver verificato le ipotesi.
-Utilizzare il Teorema Ponte (in questo caso avrei detto che [tex]$\forall \, \, a_n \to +\infty, \, a_n \in \mathbb{R}, \, \forall n \in \mathbb{N} \, \Rightarrow \, f(a_n) \to 0$[/tex])
-Considerare il caso particolare con [tex]$a_n:=n$[/tex]
O c'è qualche gap nel mio ragionamento?
In questo caso ovviamente De l'Hopital non aiuta, ci sono metodi molto più semplici. Ma se la successione fosse stata più complicata e De l'Hopital fosse stato un aiuto, si sarebbe potuto applicarlo nel seguente modo?
-Considerare la funzione ausiliaria e risolvere il limite (in questo caso sarebbe stato [tex]$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{\sqrt{2^x}}$[/tex]) applicando de l'Hopital sulla funzione, dopo aver verificato le ipotesi.
-Utilizzare il Teorema Ponte (in questo caso avrei detto che [tex]$\forall \, \, a_n \to +\infty, \, a_n \in \mathbb{R}, \, \forall n \in \mathbb{N} \, \Rightarrow \, f(a_n) \to 0$[/tex])
-Considerare il caso particolare con [tex]$a_n:=n$[/tex]
O c'è qualche gap nel mio ragionamento?
@Antimius: Esatto.
Insomma, non è che il teorema del marchese non si possa usare in assoluto; piuttosto, va usato con criterio.
Insomma, non è che il teorema del marchese non si possa usare in assoluto; piuttosto, va usato con criterio.
Ok, ti ringrazio 
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