Limite

[Newton_1372]

$\lim_{x\to 0} x^x$

Vorrei NON USARE DE L'HOPTAL, perchè non l'ho ancora fatto e quindi il libro da per scontato che cmq è possibile usare qlche altro metodo.
Posso scrivere la prima come

$\lim_{x\to 0} e^{x\log x}$

per cui possiamo limitarci a calcolare
$ \lim_{x\to 0} x\log x$

Che si presenta nella forma indeterminata $-\infty\cdot 0$.

Qualche dritta?

[Newton_1372]

Ho provato a ricondurmi a qualche forma del tipo $\log(x+1)/x$, oppure a qualcosa del tipo $(e^{f(x)}-1)/(f(x))$ ma invano

[Paolo902]

$xlogx = logx/(1/x)$: ti ricordi chi "vince"?

[Newton_1372]

No...non ricordo...quindi si tratta di infinitesimi e infiniti?

[Paolo902]

Sì, sono due infiniti ($lim_(x to 0^+) log x = -oo$ e $lim_(x to 0^+) 1/x = +oo$) e la funzione $f(x)=logx$ per $x to 0^+$ è un infinito di ordine inferiore a qualunque potenza di $1/x$.

Quindi "vince" il denominatore. Se vuoi vederla da un altro punto di vista, puoi usare De l'Hopital.
Comunque ti consiglio di tenere a mente questi limiti, tornano molto spesso utili.

P.S. Una nota: la funzione $x^x$ non è definita in un intorno sinistro dell'origine, quindi stai cercando il limite per $x to 0^+$ (e non per $x to 0$ come scritto finora).

[Newton_1372]

Ma come faccio a sapere che log(x) +un infinito di ordine inferiore rispetto a 1/x?

Ah, è un altra cosa...mi daresti l'equazione di quella curva 3d che tieni nell'immagine personale (sopra il "Registrato:06/08")

[Paolo902]

Lo puoi dimostrare usando ad esempio proprio De l'Hopital. Hai visto queste cose sul tuo libro di teoria?

P.S. Non è una curva, è una superficie . E' un esempio di spazio topologico quoziente e si chiama bottiglia di Klein.

[yellow2]

Super off topic: chi lo vuole?

Io come idea preferirei la sciarpa (o scaldacollo) di Möbius (link), ma tutto questo set non mi piace tanto!

Ok scusate...

[Newton_1372]

Ahahaha ma che è quella roba:S

[Pdirac]

Premesso che con de l'hopital la dimostrazione è decisamente più elegante e rapida, quel limite notevole puoi dimostrarlo facilmente anche con le proprietà dei logaritmi:

$lim_(x->0) logx/(1/x)$ facciamo la sostituzione $t=1/x$ per cui abbiamo $lim_(t->oo) log(1/t)/t = - lim_(t->oo) logt/t$ che immagino si possa assumere come limite notevole . Volendo proprio schivare il povero De L'Hopital (o il Bernoulli vero autore del teorema) si può dimostrare anche questo limite notevole: $lim_(x->oo) logx/x = lim_(x->oo) logx/(e^(logx))$ e facendo la sostituzione logx=t diventa piuttosto evidente la conclusione!

PS: io con una sciarpa nastro di Moebius o un cappello bottiglia di Klein entrerei in crisi.... da quale parte vanno infilati???

[Newton_1372]

/Una lieve ipotesi ce l'avrei wahahaahahah....ma lasciamo perdere che è meglio!

Cmq il limite notevole log x/ x non l'ho mai trovato da nex parte:S

[Pdirac]

forse perché non si inserisce direttamente nella sezione dei limiti notevoli (sinceramente non mi ricordo), ma deriva comunque semplicemente dal fatto che x è un infinito di ordine superiore al suo logaritmo.

[Paolo902]

Vedo che la discussione va avanti. Sì insomma, ci sono vari modi per arrivare a quel limite, l'importante è ricordarselo.

P.S. Io ho la bottiglia di Klein in vetro sulla scrivania, come soprammobile (è un regalo prezioso di un caro amico )

[Newton_1372]

Si ma io a questo punto non ci dormo la notte...vorrei se è possibile una dimostrazione di tipo ANALITICO che non usi de l'hopital...anche i lim log x /x mi era ignoto...

[Newton_1372]

Secondo la definizione un infinitesimo è di ordine superiore rispetto a un altro se il quoziente di uno per l'altra tende a infinito...quindi avrei
$1/x$ infinitesimo di ordine superiore rispetto a $1/log(x)$ ...secondo la definizione dovrei avere
$1/x \cdot log(x)\rightarrow oo$ ma quest'ultima affermazione chi me lo dice? Mi sembra che ipotesi e tesi coincidono accidenti!:S?:S

[Paolo902]

"newton_1372":Secondo la definizione un infinitesimo è di ordine superiore rispetto a un altro se il quoziente di uno per l'altra tende a infinito...

M spiace ma in Matematica bisogna essere precisi, altrimenti non si capisce niente. La frase che ho riportato è per me priva di senso.

Comunque, mi auto-cito perchè non penso tu abbia capito di quali funzioni stiamo parlando:

"Paolo90":Sì, sono due infiniti ($lim_(x to 0^+) log x = -oo$ e $lim_(x to 0^+) 1/x = +oo$) e la funzione $f(x)=logx$ per $x to 0^+$ è un infinito di ordine inferiore a qualunque potenza di $1/x$.

[Newton_1372]

Eh ok...ma la dimostrazione di quanto dici dovrebbe essere la seguente
$ log(x)/(1/x)\rightarrow 0$. Ma questa è proprio la disuguaglianza che dovrei dimostrare...in questo senso ho detto che "ipotesi e tesi" coincidono...

[Paolo902]

Dimostrazione sul momento che non usa il teorema del marchese.

Lemma. Per ogni $x>0$, risulta $logx
Dimostrazione. Lasciata al lettore
Per ora la puoi verificare graficamente; esistono comunque alcune dimostrazioni che probabilmente vedrai quando farai un po' di calcolo integrale.

Se mi dai per buono il lemma, allora affermo che vale la seguente

Proprietà. $lim_(x to 0^+) xlogx=0$.

Dimostrazione. Fissato un arbitrario $epsilon>0$, per il lemma precedente (EDIT: questo è errato. Vedi post successivi di Rigel) si ha $|xlogx|<|x*x|=x^2destro dell'origine ($(0,delta)$) in cui la funzione $xlogx$ è arbitrariamente piccola.

Ok? Ti ho convinto?

P.S. Naturalmente, puoi mettere al posto del primo fattore $x$ una qualsiasi potenza positiva di $x$, i.e. $x^alpha$, per ogni $alpha>0$ reale.

[Newton_1372]

Non credo manchi molto prima che tu cominci a maledirmi...(:))...ma $ lim_{x\rightarrow 0^+} log(x) $non è meno infinito??
Cmq quello che volevo fare io è
$\lim_{x\to 0} xlogx = \lim \log x/(1/x) $ Vorrei potermi calcolare il valore di questo limite, magari utilizzando qualche altro limite notevole...

[Rigel1]

"Paolo90":Fissato un arbitrario $epsilon>0$, per il lemma precedente si ha $|xlogx|<|x*x|=x^2

Ahi ahi ahi
E' vero che $\log x < x$ per ogni $x> 0$, ma non è vero che $|\log x| < x$ per ogni $x>0$.

[Newton_1372]

Molto consolanti...:S