Limite

[Newton_1372]

$\lim_{x\to 0} x^x$

Vorrei NON USARE DE L'HOPTAL, perchè non l'ho ancora fatto e quindi il libro da per scontato che cmq è possibile usare qlche altro metodo.
Posso scrivere la prima come

$\lim_{x\to 0} e^{x\log x}$

per cui possiamo limitarci a calcolare
$ \lim_{x\to 0} x\log x$

Che si presenta nella forma indeterminata $-\infty\cdot 0$.

Qualche dritta?

[Rigel1]

Vediamo di dimostrare che $\lim_{x\to +\infty} \frac{\log x}{x} = 0$ senza usare il teorema del marchese (questo limite è equivalente a quello proposto ma mi piace di più).

1) Si ha che $\log x \le x-1$ per ogni $x>0$. Questa disuguaglianza elementare può essere dimostrata in vari modi; il più "elementare" consiste nell'osservare che la funzione $\phi(x) = \log x - x + 1$ si annulla per $x=1$, ha derivata positiva per $x\in (0,1)$ e negativa per $x > 1$.

2) Per ogni $x>1$, utilizzando la disuguaglianza appena dimostrata abbiamo che
$0 < \frac{1}{2} \log x = \log(\sqrt{x}) \le \sqrt{x} - 1 < \sqrt{x}$,
da cui si ricava
$0 < \frac{\log x}{x} < \frac{2}{\sqrt{x}}$.
La tesi segue ora dal teorema del confronto.

[Newton_1372]

Il problema si ha per x che tende a ZERO!!!(scoppia a piangere a dirotto)

[Paolo902]

"Rigel":[quote="Paolo90"]Fissato un arbitrario $epsilon>0$, per il lemma precedente si ha $|xlogx|<|x*x|=x^2

Ahi ahi ahi
E' vero che $\log x < x$ per ogni $x> 0$, ma non è vero che $|\log x| < x$ per ogni $x>0$.[/quote]


Azz, è vero. Peccato, mi era proprio sfuggita e mi pareva tutto funzionasse... Scusami, Rigel.
Grazie per avermi segnalato l'errore.

[Newton_1372]

Far entrare l'asino per i glutei (modo dire siciliano) cioè far tirare fuori da log x/x un espressione del tipo log (x+1)/x (da far tendere a 1!) è proprio così impossibile?

[Paolo902]

newton_1372, devi imparare a leggere con maggiore attenzione quanto ti si scrive.

"newton_1372":Il problema si ha per x che tende a ZERO!!!(scoppia a piangere a dirotto)

"Rigel":Vediamo di dimostrare che $\lim_{x\to +\infty} \frac{\log x}{x} = 0$ senza usare il teorema del marchese (questo limite è equivalente a quello proposto ma mi piace di più).

"Pdirac": $lim_(x->0) logx/(1/x)$ facciamo la sostituzione $t=1/x$ per cui abbiamo $lim_(t->oo) log(1/t)/t = - lim_(t->oo) logt/t$

[Newton_1372]

$log(x)/x = log(x+1-1)/x =log((x+1)(1-1/(x+1))) /x = (log(x+1)+log(1-1/(x+1)))/x $ non va, ancora non va, FI dappertutto