Limite
Ciao, ho risolto un limite ma non sono sicuro sia giusto, di seguito inserisco tutti i passi fatti, vorrei se gentilmente qualcuno mi può dire se è giusto e in caso non lo sia dov'è l'errore
$ lim_(n -> oo) [(n-1)^n - n^(n-1)] $
$ lim_(n -> oo) { [ n(1-1/n)]^n - n^(n-1) } $
ho che $-1/n $ tende a 0, quindi ho:
$ lim_(n -> oo) [n^n - n^(n-1)] $
metto in evidenza $n^n$ perchè arriva prima a $oo$ e ho:
$ lim_(n -> oo) [n^n (1- n^(n-1) / n^n)] $
dove $ n^(n-1) / n^n $ tende a 0 e alla fine mi rimane:
$ lim_(n -> oo) n^n = oo $
volevo anche sapere se per risolvere il limite potevo applicare quanlche limite notevole. Non soni sicuro se esiste un limite notevole per $ (1-1/n)^n $
$ lim_(n -> oo) [(n-1)^n - n^(n-1)] $
$ lim_(n -> oo) { [ n(1-1/n)]^n - n^(n-1) } $
ho che $-1/n $ tende a 0, quindi ho:
$ lim_(n -> oo) [n^n - n^(n-1)] $
metto in evidenza $n^n$ perchè arriva prima a $oo$ e ho:
$ lim_(n -> oo) [n^n (1- n^(n-1) / n^n)] $
dove $ n^(n-1) / n^n $ tende a 0 e alla fine mi rimane:
$ lim_(n -> oo) n^n = oo $
volevo anche sapere se per risolvere il limite potevo applicare quanlche limite notevole. Non soni sicuro se esiste un limite notevole per $ (1-1/n)^n $
Risposte
"daniele.a87":Qui sbagli, compi un'azione illegittima, per capirci non puoi calcolare quel "pezzo" ignorando gli altri "pezzi"! Io metterei in evidenza [tex]$n^n$[/tex] senza ignorare nulla.
...$ lim_(n -> oo) { [ n(1-1/n)]^n - n^(n-1) } $
ho che $-1/n $ tende a 0, quindi ho:
$ lim_(n -> oo) [n^n - n^(n-1)] $...
"daniele.a87":Certo che esiste: è [tex]$\lim_{n\to+\infty}\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)^n=\frac{1}{e}$[/tex]; con [tex]$e$[/tex] numero di Eulero-Nepero!
...Non soni sicuro se esiste un limite notevole per $ (1-1/n)^n $
ma quel limite notevole che dici tu non e per $x->-oo$ ??
ma anche che considero tutto fino alla fine, non cambia niente a livello di risultato o sbaglio..
e poi portando tutto fino alla fine ho che arrivo ad avere:
$ lim_(n -> oo) [n^n(1 * (1-1/n)/n^n - n^(n-1)/n^n)] $
che mi da come risultato 0 e non $+ oo $ come è giusto
corregimi se sbaglio..
grazie
ma anche che considero tutto fino alla fine, non cambia niente a livello di risultato o sbaglio..
e poi portando tutto fino alla fine ho che arrivo ad avere:
$ lim_(n -> oo) [n^n(1 * (1-1/n)/n^n - n^(n-1)/n^n)] $
che mi da come risultato 0 e non $+ oo $ come è giusto
corregimi se sbaglio..
grazie
Il limite che ti ho scritto è corretto (clicca) ma non hai notato che [tex]$\bigg[n\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)\bigg]^n=n^n\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)^n$[/tex] 
Prego, di nulla!
EDIT: Comunque ho calcolato che [tex]$\lim_{n\to-\infty}\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)^n=\frac{1}{e}$[/tex] ma non ti serve; puoi provarlo anche tu stesso come esercizio!
(clicca) ma non hai notato che [tex]$\bigg[n\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)\bigg]^n=n^n\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)^n$[/tex] Prego, di nulla!
EDIT: Comunque ho calcolato che [tex]$\lim_{n\to-\infty}\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)^n=\frac{1}{e}$[/tex] ma non ti serve; puoi provarlo anche tu stesso come esercizio!
Scusami ma non riesco proprio a capire.
io arrivo ad avere:
$ lim_(n -> +oo) [[n(1-1/n)]^n - n^(n-1)] $
poi con le regole delle potenze ho:
$ lim_(n -> +oo) [n^n(1-1/n)^n - n^(n-1)] $
ora arriva il primo problema: con i limiti notevoli che ho io non mi ritrovo un formula del tipo: $ lim_(n -> +oo) (1-1/n)^n = 1/e $ ma ho $ lim_(n -> -oo) (1-1/n)^n = 1/e $
vuoi dire che i due limiti notevoli sono la stessa cosa cioe quiandi esiste un limite notevole $ lim_(n -> pm oo) (1-1/n)^n = 1/e $
io ho provato anche a risolvere il limite con al posto di $(1-1/n)^n$ mettete $1/e$ ma mi sballa letteralmente il risultato.
continuando il limite senza tenere conto ti limiti notevoli metto in evidenza $n^n$ e ho:
$ lim_(n -> +oo) [n^n ( 1 (1-1/n)^n/n^n - n^(n-1)/ n^n)] $
ora il problema è che :
$ (1-1/n)^n/n^n = 0 $
$ n^(n-1)/ n^n = 0 $
e quiandi ho
$ lim_(n -> +oo) [n^n (1 * 0 - 0)] $ = $ lim_(n -> +oo) [n^n (0)] = 0 $
e non $+oo$
Scusami dinuovo ma io l'ho capito cosi..
io arrivo ad avere:
$ lim_(n -> +oo) [[n(1-1/n)]^n - n^(n-1)] $
poi con le regole delle potenze ho:
$ lim_(n -> +oo) [n^n(1-1/n)^n - n^(n-1)] $
ora arriva il primo problema: con i limiti notevoli che ho io non mi ritrovo un formula del tipo: $ lim_(n -> +oo) (1-1/n)^n = 1/e $ ma ho $ lim_(n -> -oo) (1-1/n)^n = 1/e $
vuoi dire che i due limiti notevoli sono la stessa cosa cioe quiandi esiste un limite notevole $ lim_(n -> pm oo) (1-1/n)^n = 1/e $
io ho provato anche a risolvere il limite con al posto di $(1-1/n)^n$ mettete $1/e$ ma mi sballa letteralmente il risultato.
continuando il limite senza tenere conto ti limiti notevoli metto in evidenza $n^n$ e ho:
$ lim_(n -> +oo) [n^n ( 1 (1-1/n)^n/n^n - n^(n-1)/ n^n)] $
ora il problema è che :
$ (1-1/n)^n/n^n = 0 $
$ n^(n-1)/ n^n = 0 $
e quiandi ho
$ lim_(n -> +oo) [n^n (1 * 0 - 0)] $ = $ lim_(n -> +oo) [n^n (0)] = 0 $
e non $+oo$
Scusami dinuovo ma io l'ho capito cosi..
Il discorso dei limiti notevoli mi sembra ok! E ti ripeto che puoi calcolarli da te.
Riportando per bene risulta [tex]$\lim_{n\to+\infty}n^n\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)^n-n^{n-1}=\lim_{n\to+\infty}n^n\bigg[\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)^n-\frac{n^{n-1}}{n^n}\bigg]=\hdots$[/tex]
Riportando per bene risulta [tex]$\lim_{n\to+\infty}n^n\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)^n-n^{n-1}=\lim_{n\to+\infty}n^n\bigg[\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)^n-\frac{n^{n-1}}{n^n}\bigg]=\hdots$[/tex]
ma non ho capito se tu:
moltiplichi per $n^n$ la sottrazione o se metti in evidenza $n^n$
se metti in evidenza $n^n$ non viene un limite come ho fatto io?? o se moltiplichi per $n^n$ come fai a dire che anche la seconda divisione $- n^(n-1)/n^n$ fa parte della molitiplicazione??
moltiplichi per $n^n$ la sottrazione o se metti in evidenza $n^n$
se metti in evidenza $n^n$ non viene un limite come ho fatto io?? o se moltiplichi per $n^n$ come fai a dire che anche la seconda divisione $- n^(n-1)/n^n$ fa parte della molitiplicazione??
Io ho messo in evidenza [tex]$n^n$[/tex], per convincertene basta fare il calcolo; poi tu hai sbagliato a riportarlo in evidenza e basta fare il conto per capirlo, anzi eccotelo: [tex]$n^n\Bigg[\frac{1\cdot\big(1-\frac{1}{n}\big)}{n^n}-\frac{n^{n-1}}{n^n}\Bigg]=\frac{n^n\big(1-\frac{1}{n}\big)}{n^n}-\frac{n^{n-1}n^n}{n^n}=\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)-n^{n-1}\neq \bigg[n\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)\bigg]^n-n^{n-1}$[/tex]!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo