Limite
qualcuno sa darmi qualche indicazione su come procedere?
non so davvero da cosa iniziare :/
$lim_(x-> oo)(x^2 log(x^3/(x^3+2)))/(e^(1/(x+1))-1)$
non so davvero da cosa iniziare :/
$lim_(x-> oo)(x^2 log(x^3/(x^3+2)))/(e^(1/(x+1))-1)$
Risposte
"Hunho":
qualcuno sa darmi qualche indicazione su come procedere?
non so davvero da cosa iniziare :/
$lim_(x-> oo)(x^2 log(x^3/(x^3+2)))/(e^(1/(x+1))-1)$
Di fronte a limiti del genere la prima cosa da fare è vedere se si può far saltar fuori qualche limite notevole.
sicuramente c'e' da fare qualche artifizio prima, dato che cosi' com'e' non si riconduce a nulla
A denominatore non ci sono molti artifizi da fare: L'esponente di $e$ è un infinitesimo.
A numeratore devi osservare che l'argomento del logaritmo tende a uno, quindi . .
Prova a pensarci un attimo. I limiti notevoli da applicare sono chiari, bisogna solo sistemare il logaritmo.
A numeratore devi osservare che l'argomento del logaritmo tende a uno, quindi . .
Prova a pensarci un attimo. I limiti notevoli da applicare sono chiari, bisogna solo sistemare il logaritmo.
Ti aiuto nella risoluzione del limite, applicando due limiti molto utilizzati in analisi:
$lim_(x->oo)x^2*lim_(x->oo)log((x^3+2-2)/(x^3+2))*1/(lim_(x->oo)e^(1/(x+1))-1)$
$lim_(x->oo)x^2*lim_(x->oo)log((x^3+2)/(x^3+2)-2/(x^3+2))*1/(lim_(x->oo)((e^(1/(x+1))-1)/(1/(x+1)))*(1/(x+1)))$
$lim_(x->oo)x^2*lim_(x->oo)log(1-2/(x^3+2))/(-2/(x^3+2))*lim_(x->oo)(-2/(x^3+2))*(x+1)/(lim_(x->oo)((e^(1/(x+1))-1)/(1/(x+1))))$
$lim_(x->oo)x^2(x+1)*(-2/(x^3+2))*lim_(x->oo)log(1-2/(x^3+2))/(-2/(x^3+2))*1/(lim_(x->oo)((e^(1/(x+1))-1)/(1/(x+1))))$
Effettuo un cambio di variabile nel secondo e terzo limite:
se $-2/(x^3+2)=z$ e $x->oo$ allora $z->0$, quindi $lim_(x->oo)log(1-2/(x^3+2))/(-2/(x^3+2))=lim_(z->0)log(1+z)/z=1$ (limite notevole)
se $1/(x+1)=t$ e $x->oo$ allora $t->0$, quindi $lim_(x->oo)((e^(1/(x+1))-1)/(1/(x+1)))=lim_(t->0)(e^t-1)/t=1$ (limite notevole)
Applicando quanto trovato il limite finale diventa:
$lim_(x->oo)x^2(x+1)*(-2/(x^3+2))*lim_(z->0)log(1+z)/z*1/(lim_(t->0)(e^t-1)/t)$
$lim_(x->oo)(-2(x^3+x^2)/(x^3+2))*lim_(z->0)log(1+z)/z*1/(lim_(t->0)(e^t-1)/t)$. A questo punto continua te, dovresti riuscire. Fammi sapere.
Ciao.
$lim_(x->oo)x^2*lim_(x->oo)log((x^3+2-2)/(x^3+2))*1/(lim_(x->oo)e^(1/(x+1))-1)$
$lim_(x->oo)x^2*lim_(x->oo)log((x^3+2)/(x^3+2)-2/(x^3+2))*1/(lim_(x->oo)((e^(1/(x+1))-1)/(1/(x+1)))*(1/(x+1)))$
$lim_(x->oo)x^2*lim_(x->oo)log(1-2/(x^3+2))/(-2/(x^3+2))*lim_(x->oo)(-2/(x^3+2))*(x+1)/(lim_(x->oo)((e^(1/(x+1))-1)/(1/(x+1))))$
$lim_(x->oo)x^2(x+1)*(-2/(x^3+2))*lim_(x->oo)log(1-2/(x^3+2))/(-2/(x^3+2))*1/(lim_(x->oo)((e^(1/(x+1))-1)/(1/(x+1))))$
Effettuo un cambio di variabile nel secondo e terzo limite:
se $-2/(x^3+2)=z$ e $x->oo$ allora $z->0$, quindi $lim_(x->oo)log(1-2/(x^3+2))/(-2/(x^3+2))=lim_(z->0)log(1+z)/z=1$ (limite notevole)
se $1/(x+1)=t$ e $x->oo$ allora $t->0$, quindi $lim_(x->oo)((e^(1/(x+1))-1)/(1/(x+1)))=lim_(t->0)(e^t-1)/t=1$ (limite notevole)
Applicando quanto trovato il limite finale diventa:
$lim_(x->oo)x^2(x+1)*(-2/(x^3+2))*lim_(z->0)log(1+z)/z*1/(lim_(t->0)(e^t-1)/t)$
$lim_(x->oo)(-2(x^3+x^2)/(x^3+2))*lim_(z->0)log(1+z)/z*1/(lim_(t->0)(e^t-1)/t)$. A questo punto continua te, dovresti riuscire. Fammi sapere.
Ciao.
ciao, oggi l'ho riprovato a fare con un amico ed il risultato e' stato -2, il foglio l'ha tenuto lui comunque all'ultimo passaggio ci ritrovavamo con
$lim_(x->oo)(-2x^3+2x^2)/(x^3+2)$, e quindi -2
$lim_(x->oo)(-2x^3+2x^2)/(x^3+2)$, e quindi -2
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