Limite

[process11]

ciao a tutti, volevo chiedervi una cosa.allora ho questo limite $lim_(x->0)(sen(ax)-ax)/(sen(bx)-bx)$ che mi da la forma indeterminata $0/0$

ho provato a risolverlo con de l'hospital e viene

$lim_(x->0)(acos(ax)-a)/(bcos(bx)-b)$

riapplico l'hopital e viene

$lim_(x->0)(-a^2sen(ax))/(-b^2sen(bx))$

poi ho fatto

$((a^2)/(b^2))* lim_(x->0)((sen(ax))/(ax))/((sen(bx))/(bx))$

e quindi il limite viene $(a^2/b^2)$
é giusto?

[blackbishop13]

secondo me no, c'è un errore.

mi pare giusto fino a $lim_(x to 0) (-a^2sen(ax))/(-b^2sen(bx))=a^2/b^2 * lim_(x to 0) (senax)/(senbx)$,

ma poi usi questa uguaglianza che è falsa $lim_(x to 0) (senax)/(senbx)=lim_(x to 0 ) ((senax)/(ax))/((senbx)/(bx))$

capisci dov'è l'errore?

[process11]

sai che non ho capito, volevo ricondurmi al limite notevole...

[blackbishop13]

sì infatti il procedimento è giusto, però non consideri una cosa:
che nell'uguaglianza che ho riportato (quella che secondo me non è corretta)
moltiplichi per $(bx)/(ax)$ ti pare?

e non puoi farlo, tu puoi moltiplicare solo per $1$ per mantenere l'uguaglianza.
quindi per cosa dovevi moltiplicare?

[process11]

devo dividere entrambi per x? cosi ad esempio $lim_(x->0)((sen(ax))/x)/((sen(bx))/x)$ poi moltiplico per $a/b$?pensandoci è l'unica cosa che mi è venuta in mente

[ObServer]

Blackbishop è stato molto chiaro, e ti dò una seconda dritta. Prova a guardare questo limite d'accapo, e prova a pensare di usare Taylor per approssimare la funzioni trigonometriche, aumentando il grado di approssimazione oltre il primo...

[process11]

Prima di provare Taylor mi piacerebbe sapere se moltiplicare per $a/b$ dopo aver diviso per x é sbagliato e perchè... grazie per la pazienza, so di essere un pò testardo

[ObServer]

Perchè fissati a e b, si intende che a è diverso da b, quindi $a/b != 1$

applicare i limiti notevoli non deve indurre a errori di questo tipo.

[Seneca1]

Ti faccio notare che già dal limite da cui sei partito era possibile ricondursi ad un limite notevole. Un consiglio: cerca di non usare i teoremi di De L'Hospital se puoi farne facilmente a meno.

Stessa cosa per quanto riguarda Taylor.

[process11]

provando e riprovando alla fine il valore del limite mi viene $a^3/b^3$

[*v.tondi]

Derivi due volte con De L'Hopital:
$lim_(x->0)(sen(ax)-ax)/(sen(bx)-bx)=0/0$ (limite di partenza)
$lim_(x->0)(acos(ax)-a)/(bcos(bx)-b)=0/0$ (1° derivazione)
$lim_(x->0)(-a^2sin(ax))/(-b^2sin(bx))=0/0$ (2° derivazione)
$((a^2)/(b^2))lim_(x->0)sin(ax)/sin(bx)=0/0$
Applico un artificio che mi permette di utilizzare i limiti notevoli:
$((a^2)/(b^2))lim_(x->0)sin(ax)/sin(bx)*(ax)/(ax)*(bx)/(bx)=0/0$
$((a^2)/(b^2))lim_(x->0)sin(ax)/(ax)*lim_(x->0)(bx)/sin(bx)*lim_(x->0)(ax)/(bx)$
$((a^3)/(b^3))*1*1=((a^3)/(b^3))$. Ho utilizzato i limiti notevoli $lim_(x->0)sin(kx)/(kx)=1$
Ciao.

[process11]

Grazie mille!!!!!!