Limite

[One2]

Non riesco a risolvere questo limite:(con $$a$in$$RR$$)

$lim_(x->0+)(sqrt(1+tanhx)-cosx-sin(x/2))/((x^a))$

Il risultato deve essere finito e diverso da zero

Ho provato con Taylor,ma non mi torna finito...

[stefano_89]

prova a scrivere le sostituzioi che hai fatto..

[One2]

Ho sviluppato Taylor fino a vari ordini,ma non ho ottenuto risultati
Forse sbaglio a considerare lo svlippo di $tanhx$=$x$,sempre applicando Taylor,quindi mi riusulta $sqrt(1+tanhx)$=$sqrt(1+x)$e poi applico ancora Taylor considerando come esponente $1/2$

[One2]

Ho provato a risolverlo considerando il denominatore $x^a$=$x^2$,ho fatto questo perchè con lo sviluppo di Taylor al 1° ordine il numeratore mi risulta:
$1-1-(x^2)/2+o(x^2)$.
In questo modo il riusltato finale torna $-1/2$,è corretto?

[deserto1]

"One":

$lim_(x->0+)(sqrt(1+tanhx)-cosx-sin(x/2))/((x^a))$

Poniamo $f(x)=sqrt(1+x)$ e $g(x)=tanhx$, abbiamo:
$f(x)=1+x/2-x^2/8+x^3/16+o(x^3)$
$g(x)=x-x^3/3+o(x^3)$
da cui $sqrt(1+tanhx)=1+(x-x^3/3)/2-(x-x^3/3)^2/8+(x-x^3/3)^3/16+o(x^3)=$
$=1+1/2x-1/6x^3-1/8x^2+1/16x^3+o(x^3)=1-1/2x-1/8x^2-5/48x^3+o(x^3)$.
E' poi:
$sen(x/2)=x/2-x^3/48+o(x^3)$
$cos(x)=1-x^2/2+o(x^3)$
Mettendo tutto insieme:
$lim_(x->0+)(sqrt(1+tanhx)-cosx-sin(x/2))/((x^a))=$
$=lim_(x->0+){1-1/2x-1/8x^2-5/48x^3-(1-x^2/2)-(x/2-x^3/48)}/(x^a)=$
$=lim_(x->0+){3/8x^2-1/12x^3}/(x^a)$
da cui vedi che l'unica possibilità per avere il limite finito e diverso da $0$ è che sia $a=2$ ed in tale caso il limite vale $3/8$.