Limite
Scusate una cosa banalissima e veloce..il seguente limite mi viene - infinito è corretto?
$ lim x->0 [x(sqrt (1 + x^2) - cos(2x))] / (x - senx) $
$ lim x->0 [x(sqrt (1 + x^2) - cos(2x))] / (x - senx) $
Risposte
"Matematico90_":
Scusate una cosa banalissima e veloce..il seguente limite mi viene - infinito è corretto?
$ lim x->0 [x(sqrt (1 + x^2) - cos(2x))] / (x - senx) $
E' sbagliato... Posta i tuoi calcoli.
Allora il limite viene $0/0 $ quindi ho fatto così:
$lim x->0 (x^2sqrt(1/x^2 +1) - cos(2x)) / [x(1- senx/x)] $ e ho semplificato la x. Però mi sono appena accorto di avere tralasciato una parentesi e in questo modo avevo moltiplicato la x al numeratore per la prima parte ovvero la radici di 1 fratto x^2 + 1 invece deve essere moltiplicato per entrambi...e ritorna comunque $ 0/0$
$lim x->0 (x^2sqrt(1/x^2 +1) - cos(2x)) / [x(1- senx/x)] $ e ho semplificato la x. Però mi sono appena accorto di avere tralasciato una parentesi e in questo modo avevo moltiplicato la x al numeratore per la prima parte ovvero la radici di 1 fratto x^2 + 1 invece deve essere moltiplicato per entrambi...e ritorna comunque $ 0/0$
Puoi provare con McLaurin...
Scusami ma non so cosa sia e non l'ho fatto..fa lo stesso grazie comunque!
$ lim_(x->0) [x(sqrt (1 + x^2) - cos(2x))] / (x - senx) $
$ lim_(x->0) x[(sqrt (1 + x^2) - 1) + ( 1 - cos(2x))] / (x - senx) $
Ora presta attenzione a questi passaggi. Considera il limite notevole:
$ lim_(x->0) (sqrt (1 + x^2) - 1)/x^2 = 1/2$
scrivendo fuori dal limite,
$ sqrt(1 + x^2) - 1 = 1/2 + o(1)$
(*) $ sqrt(1 + x^2) - 1 = x^2/2 + o(x^2)$
Considera quest'altro limite notevole:
$ lim_(x->0) (1 - cos(2x))/(4x^2) = 1/2$
scrivendo fuori dal limite e moltiplicando per $x^2$, hai:
(**) $1 - cos(2x) = 2x^2 + o(x^2)$
Sostituendo nel limite la (*) e la (**), hai:
$ lim_(x->0) x[ x^2/2 + o(x^2) + 2x^2 + o(x^2)] / (x - senx) $
$ lim_(x->0) [ 5/2 * x^3 + o(x^3)] / (x - senx) $
A questo punto, il modo più semplice per concludere che il limite è $15$, è applicare De L'Hospital. Lo conosci?
$ lim_(x->0) x[(sqrt (1 + x^2) - 1) + ( 1 - cos(2x))] / (x - senx) $
Ora presta attenzione a questi passaggi. Considera il limite notevole:
$ lim_(x->0) (sqrt (1 + x^2) - 1)/x^2 = 1/2$
scrivendo fuori dal limite,
$ sqrt(1 + x^2) - 1 = 1/2 + o(1)$
(*) $ sqrt(1 + x^2) - 1 = x^2/2 + o(x^2)$
Considera quest'altro limite notevole:
$ lim_(x->0) (1 - cos(2x))/(4x^2) = 1/2$
scrivendo fuori dal limite e moltiplicando per $x^2$, hai:
(**) $1 - cos(2x) = 2x^2 + o(x^2)$
Sostituendo nel limite la (*) e la (**), hai:
$ lim_(x->0) x[ x^2/2 + o(x^2) + 2x^2 + o(x^2)] / (x - senx) $
$ lim_(x->0) [ 5/2 * x^3 + o(x^3)] / (x - senx) $
A questo punto, il modo più semplice per concludere che il limite è $15$, è applicare De L'Hospital. Lo conosci?
Si lo conosco. Solo che tipo il primo limite notevole non lo conoscevo sapevo quello senza radice..e poi non ho capito cosa sono quello $o(x^3)$
Capisco... Scrivi il limite così:
$ lim_(x->0) (sqrt (1 + x^2) - cos(2x))/x^2 * (x^2 * x)/(x - senx) $
$ lim_(x->0) [(sqrt (1 + x^2) - 1)/x^2 + ( 1 - cos(2x))/x^2 ] * (x^2 * x)/(x - senx) $
per i noti teoremi operativi sui limiti, hai che:
[ $ lim_(x->0) (sqrt (1 + x^2) - 1)/x^2 + lim_(x->0) ( 1 - cos(2x))/x^2 ] * lim_(x->0) (x^3)/(x - senx) $
E l'ultimo limite lo risolvi con L'Hospital.
$ lim_(x->0) (sqrt (1 + x^2) - cos(2x))/x^2 * (x^2 * x)/(x - senx) $
$ lim_(x->0) [(sqrt (1 + x^2) - 1)/x^2 + ( 1 - cos(2x))/x^2 ] * (x^2 * x)/(x - senx) $
per i noti teoremi operativi sui limiti, hai che:
[ $ lim_(x->0) (sqrt (1 + x^2) - 1)/x^2 + lim_(x->0) ( 1 - cos(2x))/x^2 ] * lim_(x->0) (x^3)/(x - senx) $
E l'ultimo limite lo risolvi con L'Hospital.
hai moltiplicato e diviso per $ x^2$ ?
E se per caso arrivati al punto che raccolto la x sotto e la semplifico con la x al numeratore e gia li essendo 0/0 applico dell hospital è sbagliato?
E se per caso arrivati al punto che raccolto la x sotto e la semplifico con la x al numeratore e gia li essendo 0/0 applico dell hospital è sbagliato?
"Matematico90_":
hai moltiplicato e diviso per $ x^2$ ?
Sì, esatto. E' lecito in quanto siamo " per $x -> 0$ ".
"Matematico90_":
E se per caso arrivati al punto che raccolto la x sotto e la semplifico con la x al numeratore e gia li essendo 0/0 applico dell hospital è sbagliato?
Dove? Se applichi L'Hospital nel seguente passaggio?
$lim_(x->0) x^2/(1 - (sin(x))/x)$
... No, non è sbagliato. Ma è un po' più complicato (hai da derivare un quoziente).
Ah ok perfetto grazie mille e scusami tanto per il disturbo!
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