Limite

[koloko]

C'è questo limite il cui risultato è zero (a me non viene così). Ora vi espongo la mia risoluzione, così da poter capire dove commetto errori, grazie in anticipo.

$lim_(x->0)(2x+5/3x^3+x^6-sin(x^2+x^3)-2log(1+x))/(x^3)$

Innanzitutto ho pensato che:
per $x->0$
$sin(x)\sim x$
$log(1+x)\sim x$

quindi siccome l'argomento (che tende a zero) del seno è $x^2+x^3$ allora posso sostituire il seno con $x^2+x^3$
col logaritmo stesso ragionamento, solo che c'è quel 2 lì davanti che mi dà da pensare:
non so quanto sia corretto il ragionamento, però ci sono 2 alternative che mi son venute in mente:

[*:1h3vt6ea]$-2log(1+x)=-log((1+x)^2)$ però, poi che faccio, sviuppo l'argomento del logaritmo?[/*:m:1h3vt6ea]
[*:1h3vt6ea]$-2log(1+x)\sim -2x$ possibile?[/*:m:1h3vt6ea][/list:u:1h3vt6ea]

Scegliendo il caso n.2..
$lim_(x->0)(2x+5/3x^3+x^6-x^2-x^3-2x)/(x^3) = lim_(x->0)(2/3x^3+x^6-x^2)/(x^3)$
Ecco così scioccamente verrebbe da dire: al numeratore tutto ciò più grande di x^2 lo tralascio, quindi:
$lim_(x->0)(x^2)/(x^3)=lim_(x->0)1/x=infty$

[Camillo]

Ti sei fermato troppo presto nello sviluppo di $ln(1+x) $ in quanto al denominatore hai il termine $x^3$ , quindi devi sviluppare il numeratore almeno fino al termine cubico.
$ln(1+x) = x-x^2/2+x^3/3+o(x^3) $ .
Otterrai il risulato corretto.