Limite
Stavo provando a svolgere il seguente limite, mediante l'utilizzo di limiti notevoli, tuttavia mi ritrovo ad una forma indeterminata del tipo oo-oo
Vi scrivo i miei passaggi:
$lim_(xto0^-) (2-2cosx-xsinx)/(x(log(1+x^2)-x^2)) => 2(1-cosx)/x^2 * 1/(x((log(1+x^2))/x^2)-1)-(xsinx)/(x(log(1+x^2)-x^2))$ come faccio a sbloccarmi da questa situazione?
vi ringrazio per l'aiuto
scrivo ulteriori passaggi, perchè forse sono riuscito a risolverlo ma non so se sia il risultato corretto:
poichè a darmi problemi è $1/(((log(1+x^2))/x^2)-1)$, la studio separatamente.
$(log(1+x^2))/x^2 = log(1+x^2)^(1/x^2) ->0 => lim_xto0 1/(((log(1+x^2))/x^2)-1) = -1$
inoltre:$(xsinx)/(x(log(1+x^2)-x^2)) = (xsinx)/(x^3((log(1+x^2))/x^2 -1)) -> -oo$. Il limite di partenza allora tende a -oo. E' corretto?
Vi scrivo i miei passaggi:
$lim_(xto0^-) (2-2cosx-xsinx)/(x(log(1+x^2)-x^2)) => 2(1-cosx)/x^2 * 1/(x((log(1+x^2))/x^2)-1)-(xsinx)/(x(log(1+x^2)-x^2))$ come faccio a sbloccarmi da questa situazione?
vi ringrazio per l'aiutoscrivo ulteriori passaggi, perchè forse sono riuscito a risolverlo ma non so se sia il risultato corretto:
poichè a darmi problemi è $1/(((log(1+x^2))/x^2)-1)$, la studio separatamente.
$(log(1+x^2))/x^2 = log(1+x^2)^(1/x^2) ->0 => lim_xto0 1/(((log(1+x^2))/x^2)-1) = -1$
inoltre:$(xsinx)/(x(log(1+x^2)-x^2)) = (xsinx)/(x^3((log(1+x^2))/x^2 -1)) -> -oo$. Il limite di partenza allora tende a -oo. E' corretto?
Risposte
Non ho letto tutti i passaggi, ma permettimi di darti un consiglio (banale)...
I limiti che si presentano in questa forma solitamente fanno pensare agli sviluppi in serie di Taylor, e, in effetti, utilizzando gli sviluppi, il tuo limite diventa estremamente facile (si arriva al risultato in due o tre passaggi)... Poi talvolta a patto di grande sforzo riesci a risolverli anche senza, ma esistono situazioni in cui senza utilizzare Taylor non si riesce ad andare avanti (a patto di non usare l'Hopital, che, personalmente, preferisco non usare...)
I limiti che si presentano in questa forma solitamente fanno pensare agli sviluppi in serie di Taylor, e, in effetti, utilizzando gli sviluppi, il tuo limite diventa estremamente facile (si arriva al risultato in due o tre passaggi)... Poi talvolta a patto di grande sforzo riesci a risolverli anche senza, ma esistono situazioni in cui senza utilizzare Taylor non si riesce ad andare avanti (a patto di non usare l'Hopital, che, personalmente, preferisco non usare...)
Purtroppo lo so maurer. Ma ancora il prof non ha spiegato nè gli sviluppi di Taylor nè De l'Hopital.
Mmmm... ho capito... Ma li farete? Fare questi limiti senza è un suicidio... troppi conti che fanno impazzire!
Ad esempio, adesso mi perdo proprio nel primo passaggio da te postato un termine $1/x$... è possibile che tu te lo sia dimenticato, oppure sono semplicemente io che non lo vedo?
Ad esempio, adesso mi perdo proprio nel primo passaggio da te postato un termine $1/x$... è possibile che tu te lo sia dimenticato, oppure sono semplicemente io che non lo vedo?
"maurer":
è possibile che tu te lo sia dimenticato, oppure sono semplicemente io che non lo vedo?
no maurer. Me lo sono dimenticato e sono punto e da capo.
e mo'??? 
Ho discusso in qualche post ultimamente sull'impossibilità di risolvere qualche limite senza Taylor, solo che non mi ricordo dove...
Sono quasi certo che senza Taylor quel limite non può venire, e ti spiego il motivo: in sostanza Taylor nasce da un tentativo di raffinare l'approssimazione lineare. I limiti notevoli rappresentano Taylor arrestato al primo ordine. Il punto focale è che per semplificare il denominatore, con Taylor, devi arrivare al secondo ordine (e ottieni come termine minimo uno di grado 5); stesso discorso al numeratore, e ottieni un termine di grado 4. Il risultato è $oo$, ma senza Taylor, confesso che non so arrivarci...
Sono quasi certo che senza Taylor quel limite non può venire, e ti spiego il motivo: in sostanza Taylor nasce da un tentativo di raffinare l'approssimazione lineare. I limiti notevoli rappresentano Taylor arrestato al primo ordine. Il punto focale è che per semplificare il denominatore, con Taylor, devi arrivare al secondo ordine (e ottieni come termine minimo uno di grado 5); stesso discorso al numeratore, e ottieni un termine di grado 4. Il risultato è $oo$, ma senza Taylor, confesso che non so arrivarci...
ho provato con sviluppi, ma sono autodidatta e non credo sia corretto:
$(-2(1-x^2/2+o(x^2))-x(x-x^3/6+o(x^3)))/(x(1+x(x-x^2/2+x^3/3-x^4/4 )-x^2))$....dovrebbe uscirne qualcosa di simile...
$(-2(1-x^2/2+o(x^2))-x(x-x^3/6+o(x^3)))/(x(1+x(x-x^2/2+x^3/3-x^4/4 )-x^2))$....dovrebbe uscirne qualcosa di simile...
Usando Taylor il limite è infinito.
Scusa ma il $lim_(xto0) (log(1+x^2))/x^2 -> 1$, no?? è un limite notevole che io sappia...
"bad.alex":
Stavo provando a svolgere il seguente limite, mediante l'utilizzo di limiti notevoli, tuttavia mi ritrovo ad una forma indeterminata del tipo oo-oo
Vi scrivo i miei passaggi:
$lim_(xto0^-) (2-2cosx-xsinx)/(x(log(1+x^2)-x^2)) => 2(1-cosx)/x^2 * 1/(x((log(1+x^2))/x^2)-1)-(xsinx)/(x(log(1+x^2)-x^2))$ come faccio a sbloccarmi da questa situazione?
scrivo ulteriori passaggi, perchè forse sono riuscito a risolverlo ma non so se sia il risultato corretto:
poichè a darmi problemi è $1/(((log(1+x^2))/x^2)-1)$, la studio separatamente.
$(log(1+x^2))/x^2 = log(1+x^2)^(1/x^2) ->0 => lim_xto0 1/(((log(1+x^2))/x^2)-1) = -1$
inoltre:$(xsinx)/(x(log(1+x^2)-x^2)) = (xsinx)/(x^3((log(1+x^2))/x^2 -1)) -> -oo$. Il limite di partenza allora tende a -oo. E' corretto?
Il risultato giusto è $+oo$. (lo vedo con Taylor sviluppando fino al 5° ordine). Ma comunque non riesco a seguire i tuoi passaggi
(mi fermo alle parole in grassetto)
Comunque (senza nessuna presunzione ma come un amico) ti consiglio di non pensare nemmeno lontanamente di avvicinarti a Taylor da autodidatta (troppo delicato come argomento!)
Un'ultima cosa: ma questi limiti te li assegnano richiedendoti specificamente di risolverli a mani nude? O sei tu che vuoi esercitarti?
@bad.alex
sì, gli sviluppi di seno e coseno sono corretti... però avresti dovuto sviluppare il coseno fino al quarto ordine (e non solo fino al secondo); poi ti sei dimenticato di scrivere un 2...
Sul logaritmo, invece, mi sa che hai sbagliato qualcosa.
Si ha $ln(1+y)=y-y^2/2+y^3/3+o(y^3)$
Nel tuo caso è $y=x^2$, quindi:
$ln(1+x^2)=x^2-x^4/2+x^6/6+o(x^6)$.
Quindi al denominatore avrai: $x(ln(1+x^2)-x^2)=x(x^2-x^4/2+x^6+o(x^6)-x^2)=-x^5/2+x^7+o(x^7)=-x^5/2+o(x^5)$
sì, gli sviluppi di seno e coseno sono corretti... però avresti dovuto sviluppare il coseno fino al quarto ordine (e non solo fino al secondo); poi ti sei dimenticato di scrivere un 2...
Sul logaritmo, invece, mi sa che hai sbagliato qualcosa.
Si ha $ln(1+y)=y-y^2/2+y^3/3+o(y^3)$
Nel tuo caso è $y=x^2$, quindi:
$ln(1+x^2)=x^2-x^4/2+x^6/6+o(x^6)$.
Quindi al denominatore avrai: $x(ln(1+x^2)-x^2)=x(x^2-x^4/2+x^6+o(x^6)-x^2)=-x^5/2+x^7+o(x^7)=-x^5/2+o(x^5)$
"Feliciano":
Il risultato giusto è $+oo$. (lo vedo con Taylor sviluppando fino al 5° ordine). Ma comunque non riesco a seguire i tuoi passaggi
(mi fermo alle parole in grassetto)
Comunque (senza nessuna presunzione ma come un amico) ti consiglio di non pensare nemmeno lontanamente di avvicinarti a Taylor da autodidatta (troppo delicato come argomento!)
Un'ultima cosa: ma questi limiti te li assegnano richiedendoti specificamente di risolverli a mani nude? O sei tu che vuoi esercitarti?
Non so come li insegnino a lui ma questo è un'esercizio della prova in itinere di due anni fa del mio professore e si deve fare senza Taylor nè niente, solo limiti notevoli e forza di esercitazioni, io personalmente non so farlo e domani ho la prova in itinere con questo prof...
Eheheh....grazie maurer. Per pagnottina:
l'importante per me è svolgerlo in qualsiasi modo.
Tu come lo avresti risolto con limiti notevoli, se posso? a me spunta sempre forma indeterminata oo-oo!
l'importante per me è svolgerlo in qualsiasi modo.
Tu come lo avresti risolto con limiti notevoli, se posso? a me spunta sempre forma indeterminata oo-oo!
"bad.alex":
Eheheh....grazie maurer. Per pagnottina:
l'importante per me è svolgerlo in qualsiasi modo.
Tu come lo avresti risolto con limiti notevoli, se posso? a me spunta sempre forma indeterminata oo-oo!
Sinceramente non l'ho ancora risolto, è una continua lotta tra $0/0$ ed $infty-infty$
comunque se domani non supero la prova andrò a chiedere delucidazioni...ti faccio sapere, ok? 
Praticamente il nostro prof/ nostra prof( sta a vedere quale dei due devo considerare ordinario!) ci ha consigliato di esercitarci in vista dell'esame con altri compiti di altri prof. Sono capitato sulle pagine ( che sfortuna!!)del tuo prof e devo dire che questi esercizi sono piuttosto tosti. Per aumentare il livello di difficoltà ( secondo me), il nostro prof ci ha costretti ad applicare soltanto limiti notevoli senza usare de L'Hopial. Per non parlare degli sviluppi. Abbiamo terminato il programma di Analisi 1 e non ha spiegato ( nè accennato...o meglio....accennato si!) questi sviluppi di Taylor. E credo che per verificare la correttezza di un esercizio siano utilissimi. vEDREMO...in bocca al lupo per domani ( non ti invidio....dal momento che non sono riuscito a risolvere molti esercizi dei compiti di matematica del tuo prof!!! ). Giorno 20 lo avrò io e non sarà prova in itinere. O si passa o si viene rimandati
ci ha consigliato di esercitarci in vista dell'esame con altri compiti di altri prof. Sono capitato sulle pagine ( che sfortuna!!)del tuo prof e devo dire che questi esercizi sono piuttosto tosti. Per aumentare il livello di difficoltà ( secondo me), il nostro prof ci ha costretti ad applicare soltanto limiti notevoli senza usare de L'Hopial. Per non parlare degli sviluppi. Abbiamo terminato il programma di Analisi 1 e non ha spiegato ( nè accennato...o meglio....accennato si!) questi sviluppi di Taylor. E credo che per verificare la correttezza di un esercizio siano utilissimi. vEDREMO...in bocca al lupo per domani ( non ti invidio....dal momento che non sono riuscito a risolvere molti esercizi dei compiti di matematica del tuo prof!!! ). Giorno 20 lo avrò io e non sarà prova in itinere. O si passa o si viene rimandati
"bad.alex":
Praticamente il nostro prof/ nostra prof( sta a vedere quale dei due devo considerare ordinario!)
Ti è arrivato il mio privato? comunque maaaaa voi analisi l'avete semestrale??? cioè anch'io sono in fisica ma ce l'ho annuale, t'immagini poi con il mio professore :O aiutooooooo. Dai che cercherò di fare il possibile per aiutarti, animo!!!
"maurer":
Quindi al denominatore avrai: $x(ln(1+x^2)-x^2)=x(x^2-x^4/2+x^6+o(x^6)-x^2)=-x^5/2+x^7+o(x^7)=-x^5/2+o(x^5)$
scusami maurer ma come mai alla fine spunta un ordine d'infinitesimo 5?
Le $x^2$ si semplificano all'interno della parentesi, poi moltiplico per $x$ ed ottengo il seguente risultato, sfruttando l'algebra degli o-piccoli (di questa avete parlato?). In particolare sfrutto le seguenti proprietà:
-$x^\alpha*o(x^\beta)=o(x^(\alpha+\beta))$ per $x\to 0$;
-se $\alpha < \beta$ allora $o(x^\beta)=o(x^\alpha)$ per $x\to 0$.
-$x^\alpha*o(x^\beta)=o(x^(\alpha+\beta))$ per $x\to 0$;
-se $\alpha < \beta$ allora $o(x^\beta)=o(x^\alpha)$ per $x\to 0$.
"maurer":
sfruttando l'algebra degli o-piccoli (di questa avete parlato?).
eheheh ... si come no.....
( non abbiamo fatto sviluppi in serie!)
grazie maurer per la delucidazione.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo