Limite

[freddofede]

$\lim_{n->infty}n(x^((n+1)/n)-x)=x\logx$

Come ci si arrivava...?

[Lorin1]

ma è un limite in due variabili...sei sicuro? perchè io tipo ho trasformato la funzione così:

$n(x^(1+1/n)-x) => n(x*x^(1/n)-x) => n(x*root(n)(x)-x) => nx(root(n)(x)-1)$

Arrivato qui, io so che $n->+00$ e va bene, e x come faccio a stabilirla?

[freddofede]

Prendi $x$ come se fosse una costante: sto studiando la convergenza di una successione di funzioni.

[davidin0]

"Lorin":ma è un limite in due variabili...sei sicuro? perchè io tipo ho trasformato la funzione così:

$n(x^(1+1/n)-x) => n(x*x^(1/n)-x) => n(x*root(n)(x)-x) => nx(root(n)(x)-1)$

Arrivato qui, io so che $n->+00$ e va bene, e x come faccio a stabilirla?

Io ho proceduto così:

$x^((n+1)/n)$ è asintotico a $x^(n/n)->x^1$ ma mi sono accorto che $nx-nx$ poi si semplifica e l'ansintotico quindi non lo posso usare , ci vorrà forse Taylor?

[deserto1]

E'

$lim_{n->+infty} [n(x^((n+1)/n)-x)]=lim_{n->+infty} [nx(x^(1/n)-1)]=x*lim_{n->+infty} [(x^(1/n)-1)/(1/n)]=xlog(x)$

[freddofede]

Mah, mi sembra un pò strano tocchi ricorrere a Taylor... ipotizzavo ci volesse un limite notevole, perso nei meandri della mia memoria...

[freddofede]

Giustappunto quello postato da deserto in contemporanea thx.

[freddofede]

P.S.: certo se fosse stato presente anche nel Marcellini I, invece che dover andar a cercare la dimostrazione su Wikipedia, ci avrei perso un pò meno di una mezzoretta...