Limite
Ragazzi, qualcuno di voi mi aiuta con questi due limiti?
$lim_(n->oo)(n^6*log(1+e^(-3n))$
$lim_(x->oo)(x^a*log(23+e^(pi*x))$
Con il programma siamo arrivati fino alla continuità, quindi niente de L'Hopital o affini...
$lim_(n->oo)(n^6*log(1+e^(-3n))$
$lim_(x->oo)(x^a*log(23+e^(pi*x))$
Con il programma siamo arrivati fino alla continuità, quindi niente de L'Hopital o affini...
Risposte
Se ricordi i limiti notevoli:
$lim_(t rightarrow 0) log(1+t)/t =1$
è piuttosto semplice!
Provaci che poi dopo ti posto il dettaglio se hai difficoltà!
$lim_(t rightarrow 0) log(1+t)/t =1$
è piuttosto semplice!
Provaci che poi dopo ti posto il dettaglio se hai difficoltà!
Ho difficoltà 
Non riesco a capire quale deve essere la mia t
Inoltre mi sorgono un sacco di problemi anche con limiti facili!
Esempio: $lim_(x=>0)((cos(x)^(1/x))$
Mi date qualche consiglio?
Ho l'esonero Giovedì e muoio di paura!!!
Non riesco a capire quale deve essere la mia t
Inoltre mi sorgono un sacco di problemi anche con limiti facili!
Esempio: $lim_(x=>0)((cos(x)^(1/x))$
Mi date qualche consiglio?
Ho l'esonero Giovedì e muoio di paura!!!
Allora, per i primi esercizi:
$lim_(n rightarrow oo) n^6log(1+e^(-3n))$
Pongo $t=e^(-3n)$, $n=-1/3logt$ e proseguo come:
$lim_(t rightarrow 0) (-1/3)^6(logt)^6*log(1+t) = lim_(t rightarrow 0) (-1/3)^6(logt)^6*t*log(1+t)/t = lim_(t rightarrow 0) (-1/3)^6(logt)^6*t = 0$
Nel secondo:
$lim_(x rightarrow oo) x^alog(23+e^(pi*x))= lim_(x rightarrow oo) x^alog23(1+e^(pi*x)/23)= lim_(x rightarrow oo) x^a(log23+log(1+e^(pi*x)/23))= $
procedo come prima e considero $t = e^(pi*x)/23$ da cui $x = 1/pi*log(23 t)$
$lim_(t rightarrow 0) (1/pi*log(23 t))^a(log23+log(1+t))= lim_(t rightarrow 0) log 23 (1/pi*log(23 t))^a + lim_(t rightarrow 0) (1/pi*log(23 t))^at log(1+t)/t =-oo$
Ed infine il terzo:
$lim_(x rightarrow 0) (cosx)^(1/x) = lim_(x rightarrow 0) e^((1/x)*log(cosx))$
e quindi ti rimane da calcolare:
$lim_(x rightarrow 0) log(cosx)/x = lim_(x rightarrow 0) log(cosx)/(1-cosx) * (1-cosx)/x = 0$
$lim_(n rightarrow oo) n^6log(1+e^(-3n))$
Pongo $t=e^(-3n)$, $n=-1/3logt$ e proseguo come:
$lim_(t rightarrow 0) (-1/3)^6(logt)^6*log(1+t) = lim_(t rightarrow 0) (-1/3)^6(logt)^6*t*log(1+t)/t = lim_(t rightarrow 0) (-1/3)^6(logt)^6*t = 0$
Nel secondo:
$lim_(x rightarrow oo) x^alog(23+e^(pi*x))= lim_(x rightarrow oo) x^alog23(1+e^(pi*x)/23)= lim_(x rightarrow oo) x^a(log23+log(1+e^(pi*x)/23))= $
procedo come prima e considero $t = e^(pi*x)/23$ da cui $x = 1/pi*log(23 t)$
$lim_(t rightarrow 0) (1/pi*log(23 t))^a(log23+log(1+t))= lim_(t rightarrow 0) log 23 (1/pi*log(23 t))^a + lim_(t rightarrow 0) (1/pi*log(23 t))^at log(1+t)/t =-oo$
Ed infine il terzo:
$lim_(x rightarrow 0) (cosx)^(1/x) = lim_(x rightarrow 0) e^((1/x)*log(cosx))$
e quindi ti rimane da calcolare:
$lim_(x rightarrow 0) log(cosx)/x = lim_(x rightarrow 0) log(cosx)/(1-cosx) * (1-cosx)/x = 0$
il primo si può risolvere senza sostituzioni e con pochi passaggi:
$lim_(n rightarrow oo) n^6log(1+e^(-3n))= lim_(n rightarrow oo) (log(1+e^(-3n)))/e^(-3n) e^(-3n) n^6= 0$
il secondo mi sembra sbagliato, perchè l'argomento del logaritmo tende a + infinito, per $a>0$ è infinito*infinito, che non è una forma indeterminata (è uguale a +infinito)
per $a<0$ devi sviluppare un po' i calcoli.
$lim_(x rightarrow oo) x^(-a)log(23+e^(pi*x))= lim_(x rightarrow oo) x^(-a)log23(1+e^(pi*x)/23)= lim_(x rightarrow oo) (log23/x^a+log(1+e^(pi*x)/23)/x^a)= $ la prima frazione tende a zero, la seconda, utilizzando lo sviluppo di taylor del logaritmo arrestato al primo ordine diventa $e^(pi*x)/x^a$, che tende a +infinito. Riassumendo
$lim_(x rightarrow oo) x^(a)log(23+e^(pi*x)) = +\infty$ per $a in R$
quest'altro risulta 1
$lim_(x rightarrow 0) (cosx)^(1/x) = lim_(x rightarrow 0) e^((1/x)*log(cosx)) = 1$
perchè l'esponente tende a zero:
$lim_(x rightarrow 0) log(cosx)/x = lim_(x rightarrow 0) log(1+cosx-1)/(cosx-1) * (cosx-1)/x = 0$
i risultati sono questi..se ho fatto bene i conti
$lim_(n rightarrow oo) n^6log(1+e^(-3n))= lim_(n rightarrow oo) (log(1+e^(-3n)))/e^(-3n) e^(-3n) n^6= 0$
il secondo mi sembra sbagliato, perchè l'argomento del logaritmo tende a + infinito, per $a>0$ è infinito*infinito, che non è una forma indeterminata (è uguale a +infinito)
per $a<0$ devi sviluppare un po' i calcoli.
$lim_(x rightarrow oo) x^(-a)log(23+e^(pi*x))= lim_(x rightarrow oo) x^(-a)log23(1+e^(pi*x)/23)= lim_(x rightarrow oo) (log23/x^a+log(1+e^(pi*x)/23)/x^a)= $ la prima frazione tende a zero, la seconda, utilizzando lo sviluppo di taylor del logaritmo arrestato al primo ordine diventa $e^(pi*x)/x^a$, che tende a +infinito. Riassumendo
$lim_(x rightarrow oo) x^(a)log(23+e^(pi*x)) = +\infty$ per $a in R$
quest'altro risulta 1
$lim_(x rightarrow 0) (cosx)^(1/x) = lim_(x rightarrow 0) e^((1/x)*log(cosx)) = 1$
perchè l'esponente tende a zero:
$lim_(x rightarrow 0) log(cosx)/x = lim_(x rightarrow 0) log(1+cosx-1)/(cosx-1) * (cosx-1)/x = 0$
i risultati sono questi..se ho fatto bene i conti
Ok ho capito il primo e il terzo. Ora che li vedo risolti mi sembrano così stupidi -.-
Quello che non riesco ancora a capire è il secondo. Quello risolto da Lord K mi sembra errato, perché $x->oo$ implica che anche la t vada a $oo$. O sbaglio? Nella risposta di Marco 512, non ho capito perché ha svolto i calcoli con $-a$...
Quello che non riesco ancora a capire è il secondo. Quello risolto da Lord K mi sembra errato, perché $x->oo$ implica che anche la t vada a $oo$. O sbaglio? Nella risposta di Marco 512, non ho capito perché ha svolto i calcoli con $-a$...
perchè ho fatto l'ipotesi che $a \in RR$, dunque ho distinto in due casi, $a>0$ e $a<0$, anche se in effetti il -a andava mantenuto fino alla fine.
"Tidus89":
Ok ho capito il primo e il terzo. Ora che li vedo risolti mi sembrano così stupidi -.-
Quello che non riesco ancora a capire è il secondo. Quello risolto da Lord K mi sembra errato, perché $x->oo$ implica che anche la t vada a $oo$. O sbaglio? Nella risposta di Marco 512, non ho capito perché ha svolto i calcoli con $-a$...
Ho sbagliato in effetti! Grazie a questo però dovresti vedre che il risultato è palesemente $+oo$ se $a>=0$, $0$ altrimenti.
"Lord K":
[quote="Tidus89"]Ok ho capito il primo e il terzo. Ora che li vedo risolti mi sembrano così stupidi -.-
Quello che non riesco ancora a capire è il secondo. Quello risolto da Lord K mi sembra errato, perché $x->oo$ implica che anche la t vada a $oo$. O sbaglio? Nella risposta di Marco 512, non ho capito perché ha svolto i calcoli con $-a$...
Ho sbagliato in effetti! Grazie a questo però dovresti vedre che il risultato è palesemente $+oo$ se $a>=0$, $0$ altrimenti.[/quote]
Si hai ragione, mi sono sbagliato, lo sviluppo di taylor si considera quando x tende a zero, qua x tende a $+\infty$
Però si vede che asintoticamente $ln(23+e^(\pix))$ si può approssimare con $ln(e^(\pix))=\pix lne = \pix$. Fin qua ci siamo? Bene, allora bisogna distinguere 3 casi:
$\lim_{x \to \infty} x^aln(23+e^(\pix))~~ \lim_{x \to \infty} \pi x^(a+1)= {(+\infty, if a>(-1)),(\pi, if a=-1), (0, if a<-1):}$
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