Limite
Salve a tutti... sto cercando di risolvere questo limite ma non riesco a venire a capo di niente:
$lim_(x->0)\frac{log(cos(x)+e^(6x))-log2}{(x+1)^4-1}$
L'idea principale - secondo me - è quella di applicare le proprietà fondamentali dei logaritmi e trasformare tutto in
$lim_(x->0)\frac{log(\frac{cos(x)+e^(6x)}{2})}{log(\frac{(e^(x+1))^4}{e})}$, ma oltre qui non riesco ad andare perché se applico le proprietà dei limiti in questo punto il numeratore mi si azzera e il risultato è sballato... mi manca qualche passaggio, ma non riesco a capire quale.
Lumi?
Grazie!
$lim_(x->0)\frac{log(cos(x)+e^(6x))-log2}{(x+1)^4-1}$
L'idea principale - secondo me - è quella di applicare le proprietà fondamentali dei logaritmi e trasformare tutto in
$lim_(x->0)\frac{log(\frac{cos(x)+e^(6x)}{2})}{log(\frac{(e^(x+1))^4}{e})}$, ma oltre qui non riesco ad andare perché se applico le proprietà dei limiti in questo punto il numeratore mi si azzera e il risultato è sballato... mi manca qualche passaggio, ma non riesco a capire quale.
Lumi?
Grazie!
Risposte
io, con qualche passaggio un po' azzardato, ho ottenuto 3/2. [EDIT: ho ricorretto, viene 3/4]
al numeratore va bene come hai scritto, al denominatore conviene o lasciare così o scomporre: io ho scomposto, ottenendo $x(x+2)(x^2+2x+2)$
ricontrolla i calcoli, ma se è così c'è un unico fattore (x) che tende a zero, gli altri tendono a 2. quindi il limite diventerebbe uguale a $1/4*\lim_(x->0)\(log((cosx+e^(6x))/2)/x)$
applicando de l'Hopital viene $1/4*6/2*1/1=3/4$
non ti fidare ciecamente e ricontrolla. ciao.
al numeratore va bene come hai scritto, al denominatore conviene o lasciare così o scomporre: io ho scomposto, ottenendo $x(x+2)(x^2+2x+2)$
ricontrolla i calcoli, ma se è così c'è un unico fattore (x) che tende a zero, gli altri tendono a 2. quindi il limite diventerebbe uguale a $1/4*\lim_(x->0)\(log((cosx+e^(6x))/2)/x)$
applicando de l'Hopital viene $1/4*6/2*1/1=3/4$
non ti fidare ciecamente e ricontrolla. ciao.
Ciao Ada,
secondo il test il risultato è $\frac{3}{4}$. Credo comunque di essermi azzardato a fare un esercizio più avanzato del mio attuale livello... a De L'Hopital ci devo ancora arrivare, e sto studiando adesso le forme indeterminate...
secondo il test il risultato è $\frac{3}{4}$. Credo comunque di essermi azzardato a fare un esercizio più avanzato del mio attuale livello... a De L'Hopital ci devo ancora arrivare, e sto studiando adesso le forme indeterminate...
sì, ho sbagliato con quel 2 quando ho derivato: l'ho scritto al numeratore ma non al denominatore! ora ho corretto.
comunque, se è prematuro usare de l'Hopital ti conviene, nelle forme indeterminate, concentrarti sulle funzioni algebriche e per quelle trascendenti limitarti a immediate applicazioni dei limiti notevoli.
ciao e buon lavoro.
comunque, se è prematuro usare de l'Hopital ti conviene, nelle forme indeterminate, concentrarti sulle funzioni algebriche e per quelle trascendenti limitarti a immediate applicazioni dei limiti notevoli.
ciao e buon lavoro.
Grazie innanzitutto della pazienza!
Sfruttando la proprietà secondo la quale $lim_(x->0)f(x)^g(x) = lim_(h->0)g(x)*log(f(x))$ ho ottenuto (per il numeratore) $lim_(x->0)log(\frac{cosx}{2}+3x)$, ma non riesco a ricondurre a nessuno dei limiti notevoli...
...ada mi togli una curiosità? Sei un docente di matematica?
Sfruttando la proprietà secondo la quale $lim_(x->0)f(x)^g(x) = lim_(h->0)g(x)*log(f(x))$ ho ottenuto (per il numeratore) $lim_(x->0)log(\frac{cosx}{2}+3x)$, ma non riesco a ricondurre a nessuno dei limiti notevoli...
...ada mi togli una curiosità? Sei un docente di matematica?
non è esattamente così.
$f(x)^g(x) =e^(log(f(x)^g(x))$
$f(x)^g(x) =e^(g(x)*log(f(x)))
dunque $lim_(x->0)f(x)^g(x) = lim_(h->0)e^(g(x)*log(f(x)))$
$lim_(x->0)f(x)^g(x) = e^(lim_(h->0)g(x)*log(f(x)))$
quindi, una volta trovato il limite $l$ che tu dici, il risultato di quello di partenza è $e^l$
spero sia chiaro. non capisco quando parli di numeratore, perché mi pare che il testo sia cambiato...
OT: sono un'insegnante di scuola superiore (di matematica e fisica, ma per anni lo sono stata solo di matematica).
ciao.
$f(x)^g(x) =e^(log(f(x)^g(x))$
$f(x)^g(x) =e^(g(x)*log(f(x)))
dunque $lim_(x->0)f(x)^g(x) = lim_(h->0)e^(g(x)*log(f(x)))$
$lim_(x->0)f(x)^g(x) = e^(lim_(h->0)g(x)*log(f(x)))$
"DavideV":
Grazie innanzitutto della pazienza!
Sfruttando la proprietà secondo la quale $lim_(x->0)f(x)^g(x) = lim_(h->0)g(x)*log(f(x))$ ho ottenuto (per il numeratore) $lim_(x->0)log(\frac{cosx}{2}+3x)$, ma non riesco a ricondurre a nessuno dei limiti notevoli...
...ada mi togli una curiosità? Sei un docente di matematica?
quindi, una volta trovato il limite $l$ che tu dici, il risultato di quello di partenza è $e^l$
spero sia chiaro. non capisco quando parli di numeratore, perché mi pare che il testo sia cambiato...
OT: sono un'insegnante di scuola superiore (di matematica e fisica, ma per anni lo sono stata solo di matematica).
ciao.
E perchè devi ricondurlo ad un limite notevole? Quella funzione è continua in $x=0$...
...ok, è ufficiale: mi sono definitivamente perso.
"DavideV":
Ciao Ada,
secondo il test il risultato è $\frac{3}{4}$. Credo comunque di essermi azzardato a fare un esercizio più avanzato del mio attuale livello... a De L'Hopital ci devo ancora arrivare, e sto studiando adesso le forme indeterminate...
Ti sei perso forse perche, come tu stesso hai detto, a De L'Hopital non ancora ci sei arrivato!
L'ultima coppia di post è stata un destro-sinistro che mi ha mandato al tappeto...
...soprattutto perché non ho capito il commento di Luca; o meglio, l'unica cosa che ho capito è di non aver compreso assolutamente nulla.
...soprattutto perché non ho capito il commento di Luca; o meglio, l'unica cosa che ho capito è di non aver compreso assolutamente nulla.
"DavideV":
Grazie innanzitutto della pazienza!
Sfruttando la proprietà secondo la quale $lim_(x->0)f(x)^g(x) = lim_(h->0)g(x)*log(f(x))$ ho ottenuto (per il numeratore) $lim_(x->0)log(\frac{cosx}{2}+3x)$, ma non riesco a ricondurre a nessuno dei limiti notevoli...
...ada mi togli una curiosità? Sei un docente di matematica?
$lim_(x->0)log(\frac{cosx}{2}+3x)=log(1/2)$
Luca stava cercando di dirti che semplicemente sostituendo 0 alla x non veniva una forma indeterminata (la continuità è da usare nel senso che il limite è uguale al valore della funzione nel punto.
il mio discorso invece non aveva nulla a che fare con questo (tant'è vero che ti ho detto che non capivo perché parlavi di numeratore...):
ti ho solo detto che la funzione esponenziale l'avevi scritta male. non aveva a che fare con i tuoi calcoli successivi.
spero di aver chiarito. ciao.
@ DavideV
Ricorda che in generale se una funzione $f(x)$ è definita e continua in un punto $x_o$ del suo dominio allora $lim_(x->x_o)f(x)=f(x_o)$
Ricorda che in generale se una funzione $f(x)$ è definita e continua in un punto $x_o$ del suo dominio allora $lim_(x->x_o)f(x)=f(x_o)$
@ Ada:
Allora non ho sbagliato i passaggi, giusto?
Grazie anche ad Enrico per le precisazioni
Allora non ho sbagliato i passaggi, giusto?
Grazie anche ad Enrico per le precisazioni
a quali passaggi ti riferisci?
pe rquanto riguarda $f(x)^g(x)$
ti ho corretto nell'altro messaggio.
è giusto che devi passare per il calcolo del limite del logaritmo.
se il limite era quello, si trovava facilmente come ti aveva fatto notare Luca.
il risultato di quel limite "parziale" è quello che ti ho scritto.
però, se avevi $f(x)^g(x)$
che tu hai scritto con il logaritmo, ci va "e" elevato al logaritmo (vedi il mio messaggio della pagina precedente)
se il limite dell'esponente è quindi $log(1/2)$ il limite che dovevi trovare è $e^(log(1/2))=1/2$
questo però a voler interpretare il tuo messaggio criptato... perché non ho mica capito qual è l'esercizio!
ciao.
pe rquanto riguarda $f(x)^g(x)$
ti ho corretto nell'altro messaggio.
è giusto che devi passare per il calcolo del limite del logaritmo.
se il limite era quello, si trovava facilmente come ti aveva fatto notare Luca.
il risultato di quel limite "parziale" è quello che ti ho scritto.
però, se avevi $f(x)^g(x)$
che tu hai scritto con il logaritmo, ci va "e" elevato al logaritmo (vedi il mio messaggio della pagina precedente)
se il limite dell'esponente è quindi $log(1/2)$ il limite che dovevi trovare è $e^(log(1/2))=1/2$
questo però a voler interpretare il tuo messaggio criptato... perché non ho mica capito qual è l'esercizio!
ciao.
Scusa... effettivamente hai ragione... solo che per risparmiare tempo ho tralasciato tutte le trasformazioni al denominatore dell'esercizio originale.
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