Limite
$\lim_(x->0)(sqrt(4x^4-6x^6)-2x^2)/((log(cosx))^2$ mi servirebbe un input per partire, non "vedo" nulla...
Risposte
Il limite che hai proposto equivale a
$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 (\sqrt{4 - 6 x^2} - 2)}{\log^2(1 + (\cos(x) - 1))} = \lim_{x \to 0} (\sqrt{4 - 6 x^2} - 2) (\frac{x}{\cos(x) - 1})^2 (\frac{\cos(x) - 1}{\log(1 + (\cos(x) - 1))})^2$
Ora sono tutti limiti notevoli...
$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 (\sqrt{4 - 6 x^2} - 2)}{\log^2(1 + (\cos(x) - 1))} = \lim_{x \to 0} (\sqrt{4 - 6 x^2} - 2) (\frac{x}{\cos(x) - 1})^2 (\frac{\cos(x) - 1}{\log(1 + (\cos(x) - 1))})^2$
Ora sono tutti limiti notevoli...
Mi è chiaro il terzo termine dell'ultima formula, ma non vedo le restanti due...
A dire la verità conviene razionalizzare il primo termine, trovando
$\frac{4 - 6 x^2 - 4}{\sqrt{4 - 6x^2} + 2} = \frac{-6 x^2}{\sqrt{4 - 6x^2} + 2}$
Il secondo termine invece equivale a
$(\frac{x}{\cos(x) - 1})^2 = (\frac{x}{\cos(x) - 1} \frac{\cos(x) + 1}{\cos(x) + 1})^2 = (-\frac{x}{\sin^2(x)} (\cos(x) + 1))^2$
Torna tutto ora?
$\frac{4 - 6 x^2 - 4}{\sqrt{4 - 6x^2} + 2} = \frac{-6 x^2}{\sqrt{4 - 6x^2} + 2}$
Il secondo termine invece equivale a
$(\frac{x}{\cos(x) - 1})^2 = (\frac{x}{\cos(x) - 1} \frac{\cos(x) + 1}{\cos(x) + 1})^2 = (-\frac{x}{\sin^2(x)} (\cos(x) + 1))^2$
Torna tutto ora?
Tipper sarà il caldo, sarà che son fuso, non lo so...
Ma io non "vedo" ancora nulla, quei limiti non mi dicono niente. So bene invece, che dovrebbero dirmi molto...
Ma io non "vedo" ancora nulla, quei limiti non mi dicono niente. So bene invece, che dovrebbero dirmi molto...
prendiamo: $lim_(x->0)(1-cosx)/(log(1+(1-cosx))$. Prova a sostituire $y=1-cosx$. Quindi hai $lim_(y->0)(y/log(1+y))$. Che è un limite notevole..
senti, io ho ottenuto come risultato -6, facendo però delle cose "lecite" (nel senso che sono supportate da teoremi), ma per me piuttosto insolite (io solitamente mi rifiuto di utilizzare una combinazione di l'hopital e algebra dei limiti...), quindi rifletti bene, e non prendere tutti i passaggi senza spirito critico...:
$lim_(x->0)\(sqrt(4x^4-6x^6)-2x^2)/(log(cosx))^2$, una volta considerato che il dominio della funzione è $x in [-sqrt(3/2), +sqrt(3/2)]$, porto fuori dalla radice $4x^4$, (è la stessa cosa solo $x^4$ come ti hanno già suggerito) e razionalizzo il numeratore, ottenendo (senza riscrivere limite):
$(2x^2*[sqrt(1-3/2x^2)-1]*[sqrt(1-3/2x^2)+1])/(log^2(cos x)*[sqrt(1-3/2x^2)+1])=(-3x^4)/(log^2(cos x)*[sqrt(1-3/2x^2)+1])$
il limite della parentesi quadra al denominatore è 2, quindi il limite da calcolare lo possiamo scrivere anche come:
$-3/2*lim_(x->0)\[(x^2)/(log(cosx))]^2$
svolgendo con l'hopital
$lim_(x->0)\(x^2)/(log(cosx))=lim_(x->0)\(2x)/((-senx)/(cosx))=lim_(x->0)\(-(2x cosx)/(senx))=-2$, tenendo conto del limite notevole $x/(senx)$
dunque il limite cercato è $-3/2*(-2)^2=-6$
spero di non avere scritto sciocchezze. ciao.
$lim_(x->0)\(sqrt(4x^4-6x^6)-2x^2)/(log(cosx))^2$, una volta considerato che il dominio della funzione è $x in [-sqrt(3/2), +sqrt(3/2)]$, porto fuori dalla radice $4x^4$, (è la stessa cosa solo $x^4$ come ti hanno già suggerito) e razionalizzo il numeratore, ottenendo (senza riscrivere limite):
$(2x^2*[sqrt(1-3/2x^2)-1]*[sqrt(1-3/2x^2)+1])/(log^2(cos x)*[sqrt(1-3/2x^2)+1])=(-3x^4)/(log^2(cos x)*[sqrt(1-3/2x^2)+1])$
il limite della parentesi quadra al denominatore è 2, quindi il limite da calcolare lo possiamo scrivere anche come:
$-3/2*lim_(x->0)\[(x^2)/(log(cosx))]^2$
svolgendo con l'hopital
$lim_(x->0)\(x^2)/(log(cosx))=lim_(x->0)\(2x)/((-senx)/(cosx))=lim_(x->0)\(-(2x cosx)/(senx))=-2$, tenendo conto del limite notevole $x/(senx)$
dunque il limite cercato è $-3/2*(-2)^2=-6$
spero di non avere scritto sciocchezze. ciao.
Anche a me torna $-6$. La mia idea era quella di usare solo limiti notevoli, senza scomodare de l'Hopital e/o Taylor:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 x^4 - 6x^6} -2x^2}{\log^2(\cos(x))} = \lim_{x \to 0} \frac{-6 x^2}{\sqrt{4 - 6x^2} + 2} (-\frac{x}{\sin^2(x)} (\cos(x) + 1))^2 (\frac{\cos(x) - 1}{\log(1 + (\cos(x) - 1))})^2 =$
$= \lim_{x \to 0} \frac{-6}{\sqrt{4 - 6x^2} + 2} (\frac{x}{\sin(x)})^4 (\cos(x) + 1)^2 (\frac{\cos(x) - 1}{\log(1 + (\cos(x) - 1))})^2 = \frac{-6}{4} \cdot (1)^4 \cdot (1+1)^2 \cdot (1)^2 = -6$
$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 x^4 - 6x^6} -2x^2}{\log^2(\cos(x))} = \lim_{x \to 0} \frac{-6 x^2}{\sqrt{4 - 6x^2} + 2} (-\frac{x}{\sin^2(x)} (\cos(x) + 1))^2 (\frac{\cos(x) - 1}{\log(1 + (\cos(x) - 1))})^2 =$
$= \lim_{x \to 0} \frac{-6}{\sqrt{4 - 6x^2} + 2} (\frac{x}{\sin(x)})^4 (\cos(x) + 1)^2 (\frac{\cos(x) - 1}{\log(1 + (\cos(x) - 1))})^2 = \frac{-6}{4} \cdot (1)^4 \cdot (1+1)^2 \cdot (1)^2 = -6$
beh, anch'io avevo premesso che il mio modo di risolvere questo limite non mi soddisfaceva, ...
è consolante che il risultato almeno coincida con quello di Tipper usando quasi esclusivamente i limiti notevoli.
avevo visto la perplessità di enigmagame ed ho pensato che qualche limite notevole si faticava a riconoscere...
grazie per avere scritto passaggi e risultato. ciao.
è consolante che il risultato almeno coincida con quello di Tipper usando quasi esclusivamente i limiti notevoli.
avevo visto la perplessità di enigmagame ed ho pensato che qualche limite notevole si faticava a riconoscere...
grazie per avere scritto passaggi e risultato. ciao.
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