Limite

[giorget1]

Calcolare il seguente limite utilizzando o gli sviluppo di taylor o del'hopital ma non trovo il modo di utilizzare nessuno dei due. Ecco il limite:

lim (x^x-x^ax)/x, con a reale
x->0+

[Gauss91]

Si può agevolmente usare de l'Hopitàl.
Derivando numeratore e denominatore, si ottiene che il tuo limite è uguale a $lim_(xrarr0^+)(x^x - a)(logx - 1)$. Sapendo che $lim_(xrarr0^+)x^x = 1$, si ottiene
$lim_(xrarr0^+)(x^x-x^(ax))/x=-oo$ per $a<1$
$lim_(xrarr0^+)(x^x-x^(ax))/x=+oo$ per $a>1$
Mentre per $a=1$, la funzione degenera in $(x^x-x^x)/x$. Questa funzione ha valore costante: $(x^x-x^x)/x = 0, AAx inRR$, quindi, si ha:
$lim_(xrarr0^+)(x^x-x^(ax))/x=0$ per $a=1$
se qualcosa non ti è chiaro posta.

[giorget1]

mi è chiaro abbastanza il tutto tranne come fai a dire che la derivando numeratore e denominatore ottieni quella funzione. Non riesco a capire bene il passaggio

[Gauss91]

Pardon, ho sbagliato a scrivere.
La derivata del numeratore corretta è $(x^x - ax^(ax))(logx+1)$ comunque il risultato e il ragionamento sono uguali!
Scusami ancora ma ho postato male!