Limite

[marta851]

Forse così si capisce meglio.....
$lim_(x->0)[x(e^x-1)]/[sinxln(1+5x)]$

io ho provato a svolgerlo estrabolando un limite notevole e poi facendo la derivata ,in questo modo:
$(e^x-1)/(x)$ . $(1)/(cosx ln (1+5x)sinx (5/(1+5x))$
Il risultato è 1/5, ma non mi riesce.....

[_prime_number]

Ho cancellato l'altro messaggio.

Comunque come avevo scritto nell'altro, prova Taylor.

Paola

[marta851]

ma non si è fatto Taylor......strano....comunque c'è un altro modo per risolverlo?

[Luca.Lussardi]

Certo che si fa: $e^x-1$ è asintotico a $x$, $sen(x)$ è asintotico a $x$ e $log(1+5x)$ è asintotico a $5x$.

[marta851]

scusa luca, cosa vuol dire asintotici?....

[Steven11]

Se conosci i limiti notevoli
$lim_(xto0) frac{sinx}{x}=1$
$lim_(xto0) frac{log(1+x)}{x}=1$
$lim_(xto0) frac{e^x-1}{x}=1$
puoi usarli sfruttando il fatto che
$log(1+5x)\approx5x \quad "se" \quad xto0$
e via con gli altri.

[marta851]

Grazie!!ora mi torna!!!!!!!
Ma ln(1+5x) è un limite notevole?

[Steven11]

"marta85":Ma ln(1+5x) è un limite notevole?

Se hai
$lim_(xto0) frac{ln(x+1)}{x}=1$
allora quella $x$ non devi interpretarla rigidamente come una $x$, ma devi vederlo come un termine che va a zero.
Se quindi hai
$lim_(xto0) frac{ln(alphax+1)}{alphax} \quad "con" \quadalphainRR_0$ con $alpha$ costante (nel caso nostro $5$)
il limite è sempre $1$, visto che $alphax$ va a zero.
Se vuoi fare la precisa, puoi dire che $alphax=y$ e allora hai (nota che anche $y$ tende a $0$)
$lim_(yto0) frac{ln(y+1)}{y}=1$
e ti riconduci a come trovi scritto sul libro.

Ciao.

[marta851]

sempre chiarissimo! Grazie!
Approfitto un pochino della tua bravura per chiederti un'altra curiosità sui limiti notevoli......
secondo te $lim_(x->0)[1-cos(sinx)/(sin^2x)].[(sin^2x)/(x^2)]$ perchè tende a 1/2???? Seconde me dovrebbe tendere a 0.....

[Steven11]

La seconda quadra tende a $1$, quindi devi aspettarti che la prima parentesi quadra tende a $1/2$.
Intanto ti dico che sicuramente hai scritto male, e volevi scrivere
$lim_(xto0) frac{1-cos(sinx)}{sin^2x}$
Prova a porre $t=sinx$.
Verifica a cosa tende $t$ quando $xto0$ e ricorda il limite notevole
$lim_(xto0) frac{1-cosx}{x^2}$

Torna?

[marta851]

Hai ragione avevo scritto male.....
Non mi torna......
Sai perchè....? Secondo me cos(sinx) tende a 1...perciò al numeratore avrò 1-1 che sarà uguale a zero..... e al denominatore $sin^2$ sarà anche lui =0 perchè il seno di 0 è 0.......è un trip pazzesco.....confido in te!

[Steven11]

E' giusto, ottieni infatti una forma indeterminata.
Per questo io ti ho detto di porre
$sinx=t$
Prova così, e posta i passaggi se non torna.