Limite

[Sk_Anonymous]

Sapreste dirmi quanto vale

$lim_(y->0)(1+(1+x^2)/|y|)^|y|$?

grazie

[amel3]

EDIT: Se farò un altro errore del genere, mi sa che mi bannerò da solo...

[enigmagame]

"amel":$e^(1+x^2)$, direi.

Perchè?

[_prime_number]

Non è un limite notevole, y tende a 0, non a $\infty$.

La forma è $\infty^0$, io farei un bel $e^ln( (1 + ...)^{|y|})$ così da ""portar giù" quel $|y|$, dopo di che mi concentro sul limite all'esponente di $e$, che è una forma $0 * \infty$, la riporto alla forma $\infty / \infty$ e ci do un colpo di De L'Hopital.

Dovrebbe andare così...

Paola

[Studente Anonimo]

Avevo scritto che si trattava di un limite notevole, ma mi sono subito ravveduto

Io farei come Paola.

[fu^2]

quanti teoremi (tra cui lui :D:D:D ) e salti da scomodare!!


io semplicemente farei
$lim_(yto0)(1+(1+x^2)/|y|)^|y|=lim_(yto0)e^(|y|log(1+(1+x^2)/|y|))

vediamo l'esponente $(|y|log(1+(1+x^2)/|y|))=|y|log(|y|+1+x^2)-|y|log|y|$

ora $lim_(yto0)|y|log(|y|+1+x^2)=0$ e ricordando che $y^2>|y|log|y|>|y|=>lim_(yto0)|y|log|y|=0$ per il th del confronto.

allora il risultato dell'esponente è zero da cui segue che il risulttao del limite è $e^0=1$

ciaoo

[amel3]

"enigmagame":[quote="amel"]$e^(1+x^2)$, direi.

Perchè?[/quote]

Perchè sono un cretino, ovviamente.
Già, Paola ha capito tutto (il mio errore festaiolo e il metodo risolutivo... devo smetterla di rispondere a mente, e pensare che ho scritto la seconda frase nella mia firma proprio come monito a me stesso...).
Scusate ancora, anche per la battuta seguente:
prime_number, sei irriducibile!

[Sk_Anonymous]

a me risulta che faccia 1........

[enigmagame]

"amel":
Perchè sono un cretino, ovviamente.

E' vabbè dai, anche io sono saltato subito a quella conclusione senza aver letto bene, che mancava $\infty$
Capita !

[franced]

"yavanna":Sapreste dirmi quanto vale

$lim_(y->0)(1+(1+x^2)/|y|)^|y|$?

grazie

Tanto per cominciare porrei $1+x^2=k$,

poi calcolerei il limite di

$\lim_{y \rightarrow 0^{+}} (1+\frac{k}{y})^y$.

cambiando

$y$ in $1/y$.

Viene:

$\lim_{y \rightarrow +\infty} (1+ ky)^{\frac{1}{y}} = ... = 1$

Francesco Daddi

[_prime_number]

"amel":
prime_number, sei irriducibile!

ARGHH! Che freddura!

Capita di sbagliare, non ti crucciare!
Ciao!

Paola

[gugo82]

Non c'è bisogno né del Teorema del marchese, né di sviluppare in differenza il $ln(1+(1+x^2)/(|y|))$, bensì c'è solo da ricordare il limite fondamentale $lim_(uto+oo)(ln(u))/u=0$.
Come detto da prime_number essendo $(1+(1+x^2)/(|y|))^(|y|)=e^(|y|*ln(1+(1+x^2)/(|y|)))$ e la funzione esponenziale continua, basta calcolare il limite per $yto0$ dell'esponente $|y|*ln(1+(1+x^2)/(|y|))$: risulta:

$lim_(yto 0)|y|*ln(1+(1+x^2)/(|y|))=lim_(yto 0)(ln(1+(1+x^2)/(|y|)))/(1/(|y|))=lim_(zto +oo)(ln(1+(1+x^2)*z))/z=lim_(zto +oo)(ln(1+(1+x^2)*z))/(1+(1+x^2)*z)*(1+(1+x^2)*z)/z=$
$=lim_(uto +oo)(ln(u))/u*lim_(zto +oo)(1+(1+x^2)*z)/z=0*(1+x^2)=0$,

per cui:

$lim_(yto 0)(1+(1+x^2)/(|y|))^(|y|)=e^0=1$.

Ragionate semplicemente, ragazzi.