Limite
Ho questo limite:
$lim_(x->0)(sin5x+cosx)^(cosx/sinx)$
che trasformo in questa forma:
$lim_(x->0)e^((cosx ln(sin5x+cosx))/sinx)$
mi potete dare una dritta per studiare $ln(sin5x+cosx)/sinx$
Grazie!
$lim_(x->0)(sin5x+cosx)^(cosx/sinx)$
che trasformo in questa forma:
$lim_(x->0)e^((cosx ln(sin5x+cosx))/sinx)$
mi potete dare una dritta per studiare $ln(sin5x+cosx)/sinx$
Grazie!
Risposte
$\frac{\ln(\sin(5x) + \cos(x))}{\sin(x)} = \frac{\ln(1 + (\sin(5x) + \cos(x) - 1))}{\sin(5x) + \cos(x) - 1} \frac{\sin(5x) + \cos(x) - 1}{\sin(x)} = \frac{\ln(1 + (\sin(5x) + \cos(x) - 1))}{\sin(5x) + \cos(x) - 1} (\frac{\sin(5x)}{\sin(x)} - \frac{1 - \cos(x)}{\sin(x)})$
e ora è quasi finito.
e ora è quasi finito.
in realtà basta considerare che:
$(cosx)/(sinx)ln(sin5x+cosx)=cosx/(x(1+o(1)))ln(5x(1+o(1))+1-1/2x^2(1+o(1)))=cosx/(x(1+o(1)))ln(5x(1+o(1))+1)=
$cosx/(x(1+o(1)))*5x(1+o(1))=5cosx(1+o(1))->5$ per $x->0
$(cosx)/(sinx)ln(sin5x+cosx)=cosx/(x(1+o(1)))ln(5x(1+o(1))+1-1/2x^2(1+o(1)))=cosx/(x(1+o(1)))ln(5x(1+o(1))+1)=
$cosx/(x(1+o(1)))*5x(1+o(1))=5cosx(1+o(1))->5$ per $x->0
Tipper, per quanto riguarda la tua soluzione, alla fine moltiplico e divido per $x$ e mi riconduco ai vari limiti notevoli, per restare alla fine con un $ln(1+x)/x$ anche lui notevole, quindi alla fine ho un $e^5$?
Grazie anche a te NOKKIAN80!
Grazie anche a te NOKKIAN80!
Non importa enigmagame, hai già una forma $\frac{\ln(1 + x)}{x}$ (invece di avere $x$ hai quella robaccia, ma tende sempre a zero, quindi va bene). Per finire devi scrivere
$\frac{\sin(5x)}{\sin(x)} = 5 \frac{\sin(5x)}{5x} \frac{x}{\sin(x)}$
per quanto riguarda il termine $\frac{1 - \cos(x)}{\sin(x)}$ ti basta moltiplicare sopra e sotto per $1 + \cos(x)$.
$\frac{\sin(5x)}{\sin(x)} = 5 \frac{\sin(5x)}{5x} \frac{x}{\sin(x)}$
per quanto riguarda il termine $\frac{1 - \cos(x)}{\sin(x)}$ ti basta moltiplicare sopra e sotto per $1 + \cos(x)$.
"Tipper":
per quanto riguarda il termine $\frac{1 - \cos(x)}{\sin(x)}$ ti basta moltiplicare sopra e sotto per $1 + \cos(x)$.
Cosa ottengo da questo passaggio? Scusami ma stamattina faccio un pò fatica...
Tutto il resto e chiaro, non ci avevo badato...
Non lo puoi lasciare $\frac{1 - \cos(x)}{\sin(x)}$, per $x \to 0$ otterresti una forma $\frac{0}{0}$. Moltiplicando sopra e sotto per $1 + \cos(x)$ ottieni
$\frac{1 - \cos^2(x)}{\sin(x)} \frac{1}{1 + \cos(x)} = \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)}$
che tende a zero per $x \to 0$.
$\frac{1 - \cos^2(x)}{\sin(x)} \frac{1}{1 + \cos(x)} = \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)}$
che tende a zero per $x \to 0$.
Si, stamattina sono proprio andato.
Tutto chiaro.
Grazie mille
Ciao!
Tutto chiaro.
Grazie mille
Ciao!
Nuovo limite, vorrei sapere se la soluzione è corretta:
$lim_(n->+\infty)(1+2/(n^2+1))^(n/3)$
Noto che c'è una certa somiglianza con il limite notevole $lim_(x->+\infty)(1+1/n)^n$ cerco quindi di avere l'esponente uguale al denominatore della frazione. Moltiplico e divido quindi l'esponente per $n+1/n$ ottenendo:
$lim_(n->+\infty)(1+2/(n^2+1))^(n/3) = lim_(n->+\infty)(1+2/(n^2+1))^(n/3(n+1/n)/(n+1/n)) = lim_(n->+\infty)(1+2/(n^2+1))^((n^2+1)(1/(3(n+1/n)))) = lim_(n->+\infty)((1+2/(n^2+1))^(n^2+1))^(1/(3(n+1/n))$
Pongo ora $t=n^2+1$ e avrò che $t->+\infty$, ottenendo:
$lim_(t->+\infty)((1+2/t)^t)^(1/(3(n+1/n))) = lim_(t->+\infty)(e^2)^(1/(3(n+1/n))$
Abbiamo che $lim_(t->+\infty)1/(3(n+1/n)) = 0$ Quindi $lim_(n->+\infty)(1+2/(n^2+1))^(n/3) = 1$
Grazie!
$lim_(n->+\infty)(1+2/(n^2+1))^(n/3)$
Noto che c'è una certa somiglianza con il limite notevole $lim_(x->+\infty)(1+1/n)^n$ cerco quindi di avere l'esponente uguale al denominatore della frazione. Moltiplico e divido quindi l'esponente per $n+1/n$ ottenendo:
$lim_(n->+\infty)(1+2/(n^2+1))^(n/3) = lim_(n->+\infty)(1+2/(n^2+1))^(n/3(n+1/n)/(n+1/n)) = lim_(n->+\infty)(1+2/(n^2+1))^((n^2+1)(1/(3(n+1/n)))) = lim_(n->+\infty)((1+2/(n^2+1))^(n^2+1))^(1/(3(n+1/n))$
Pongo ora $t=n^2+1$ e avrò che $t->+\infty$, ottenendo:
$lim_(t->+\infty)((1+2/t)^t)^(1/(3(n+1/n))) = lim_(t->+\infty)(e^2)^(1/(3(n+1/n))$
Abbiamo che $lim_(t->+\infty)1/(3(n+1/n)) = 0$ Quindi $lim_(n->+\infty)(1+2/(n^2+1))^(n/3) = 1$
Grazie!
Non ho controllato tutto il procedimento, perché per ricondursi al limite notevole basta moltiplicare e dividere l'esponente per $n^2 + 1$, ottenendo
$\lim_{n \to +\infty} ((1 + \frac{2}{n^2 + 1})^{n^2 + 1})^{\frac{n}{3 (n^2 + 1)}}$
e sfruttando il limite notevole si ottiene ${e^2}^0 = 1$
$\lim_{n \to +\infty} ((1 + \frac{2}{n^2 + 1})^{n^2 + 1})^{\frac{n}{3 (n^2 + 1)}}$
e sfruttando il limite notevole si ottiene ${e^2}^0 = 1$
Bè io ho fatto la stessa cosa moltiplicando e dividendo per $n+1/n$ alla fine è lo stesso procedimento no? Poi lascia stare il cambio di variabile ecc. era solo per completare l'esercizio in modo più chiaro.
Ah già, nella fretta non avevo notato che $n^2 + 1 = (n + \frac{1}{n})n$... Pardon. 
Figurati!Grazie mille!
Ciao!
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