Limite

[Sk_Anonymous]

Data $f(t)={(e^(-2t),t>=0),(0,t<0):}

calcolare $lim_(nto+infty)n*f(nt)

[cozzataddeo]

Qui di seguito ho riportato lo svolgimento dell'esercizio. Tuttavia sarebbe piú utile per te se indicassi nel forum che difficoltà hai incontrato nello svolgimento dell'esercizio, in modo da chiarirti i dubbi che spesso la risoluzione completa bella e pronta non chiarisce...

Il limite va discusso al variare di $t$

1) $t<0$
Banalmente
$lim_(n->+oo)n*0=lim_(n->+oo)0=0$

2) $t=0$
Pure banalmente
$lim_(n->+oo)n*1=+oo$

3) $t>0$
$lim_(n->+oo)ne^(-2nt)=lim_(n->+oo) n / e^(2nt)$
ovvero hai una forma indeterminata del tipo $oo/oo$. Poiché la funzione a denominatore è un infinito di ordine superiore a quello che hai a numeratore il risultato del limite è $0$.
In alternativa puoi passare a calcolare il limite per $n \in RR$, dove puoi applicare il teorema di De l'Hospital, vedere che fa $0$ e poi concludere che anche per $n \in NN$ il limite è $0$.