Limite
$ lim_{x to 0} \frac{log(1+3x^2) - 3xsinx} {x^3(e^(2x)-1)}
potete darmi una mano a svolgere questo limite di taylor? grazie
potete darmi una mano a svolgere questo limite di taylor? grazie
Risposte
Se ricordo almeno 3 limiti notevoli te la cavi con un po' di algebra: $(log(1+x))/x \to 1$, $(senx)/x \to 1$ e $(e^x -1)/x \to 1$ per $x \to 0$. Spezza la frazione e sfrutta tali limiti notevoli.
"deioo":
$ lim_{x to 0} \frac{log(1+3x^2) - 3xsinx} {x^3(e^(2x)-1)}
potete darmi una mano a svolgere questo limite di taylor? grazie
Si ti conviene utilizzare Taylor (Le formule di McLaurin in questo caso perchè sei nell'intorno di 0).
Applicando le approssimazioni
$sinx ~= x$ e
$log(1+x) ~= x$ e
$e^x-1 ~= x$
il risultato non viene quindi applichi Taylor:
$sinx = x-x^3/6 + o(x^3)$
$log(1+x) = x-x^2/2+o(x^2)$ sostituendo al tuo caso $log(1+3x^2) = 3x^2-9x^4/2+o(x^4)$
Per il denominatore puoi benissimo utilizzare le approssimazioni
$e^(2x)-1 ~= 2x$
Adesso sostituisci le formule di Taylor nel limite e ti viene:
$lim_{x->0} {3x^2-9x^4/2+o(x^4)- 3x(x-x^3/6 + o(x^3))}/{x^3(2x)} = lim_{x->0} {3x^2-9x^4/2+o(x^4)- 3x^2+(3x^4)/6 - o(x^3)}/{2x^4} =$
$lim_{x->0} {(-9/2+1/2)x^4 +o(x^(3+4))}/(2x^4) = lim_{x->0} {-4x^4}/{2x^4} = -2$
PS: L'ho fatto al volo, ci sta che ho lasciato qualcosa, comunque il procedimento è questo
"Spire":
[quote="deioo"]$ lim_{x to 0} \frac{log(1+3x^2) - 3xsinx} {x^3(e^(2x)-1)}
potete darmi una mano a svolgere questo limite di taylor? grazie
Si ti conviene utilizzare Taylor (Le formule di McLaurin in questo caso perchè sei nell'intorno di 0).
Applicando le approssimazioni
$sinx ~= x$ e
$log(1+x) ~= x$ e
$e^x-1 ~= x$
il risultato non viene quindi applichi Taylor:
$sinx = x-x^3/6 + o(x^3)$
$log(1+x) = x-x^2/2+o(x^2)$ sostituendo al tuo caso $log(1+3x^2) = 3x^2-9x^4/2+o(x^4)$
Per il denominatore puoi benissimo utilizzare le approssimazioni
$e^(2x)-1 ~= 2x$
Adesso sostituisci le formule di Taylor nel limite e ti viene:
$lim_{x->0} {3x^2-9x^4/2+o(x^4)- 3x(x-x^3/6 + o(x^3))}/{x^3(2x)} = lim_{x->0} {3x^2-9x^4/2+o(x^4)- 3x^2+(3x^4)/6 - o(x^3)}/{2x^4} =$
$lim_{x->0} {(-9/2+1/2)x^4 +o(x^(3+4))}/(2x^4) = lim_{x->0} {-4x^4}/{2x^4} = -2$
PS: L'ho fatto al volo, ci sta che ho lasciato qualcosa, comunque il procedimento è questo
[/quote]grazie a me serviva il risultato ke nn avevo grazie
Qualcuno può spiegarmi come si mettono gli o piccolo? GRAZIE... 
"_nikk_":
Qualcuno può spiegarmi come si mettono gli o piccolo? GRAZIE...
Allora, la cosa è abbastanza intuitiva:
Osserva la formula generale di Taylor con il resto di Peano:
$f(x) = [sum_{k=0}^n {f^k(x_0)}/{k!}((x-x_0)^k)] + o((x-x_0)^n) = [{f(x_0)}+f^1(x_0)(x-x_0)+{f^2(x_0)}/(2!)(x-x_0)^2+ ... + {f^n(x_0)}/(n!)(x-x_0)^n ] + o((x-x_0)^n)$
Taylor si può applicare in un punto $x_0$, se $x_0=0$ le cose si semplificano di molto.
Supponiamo di dover approssimare la funzione $e^x$ nell'intorno di un $x_0$ generico fino al secondo grado.
($e^x$ è semplice perchè la sua derivata è sempre $e^x$)
$e^x = [sum_{k=0}^2 {f^k(x_0)}/{k!}(x-x_0)^k] + o(x-x_0)^2 = [e^(x_0) + e^(x_0)(x-x_0) + {e^(x_0)}/2(x-x_0)^2 ]+ o((x-x_0)^2)$
Supponendo che $x_0 = 0$
Otteniamo la formula di MacLaurin:
(Dato che $e^0 = 1$)
$e^x = 1 + 1(x-0) + 1/2(x-0^2) + o((x-x_0)^2) = 1 + x + x^2/2 + o(x^2)$
Ancora più semplicemente l'o piccolo è la tua $x$ elevata all'ultimo grado di cui approssimi la tua funzione, se $x_0 = 0$
Spero di essere stato chiaro, ultimamente non mi riesce bene
Grazie Spire...puoi dirmi se vale lo stesso ragionamento per il seno e il coseno?Thanx
"_nikk_":
Grazie Spire...puoi dirmi se vale lo stesso ragionamento per il seno e il coseno?Thanx
Si
$ lim_{ x to o}\ frac {log(1+x^6)} {x^4 sin^2 3x}
Potete svolgere questo limite con Taylor? Non ho il risultato...Thanx!
Potete svolgere questo limite con Taylor? Non ho il risultato...Thanx!
"_nikk_":
$ lim_{ x to o}\ frac {log(1+x^6)} {x^4 sin^2 3x}
Potete svolgere questo limite con Taylor? Non ho il risultato...Thanx!
il risultato è $1/9$, ora puoi svolgerlo
Puoi anche fare a meno di Taylor: osserva che $(log(1+x^6))/(x^4 sen^2(3x))=(log(1+x^6))/(x^6)(x^6)/(x^4)(9x^2)/(sen^2(3x))1/(9x^2)$. Sembra una complicazione me e' una semplificazione.
Ho visto ora che l'ha scritto anche luca con le approssimazioni, (quello è sicuramente il modo più semplice).
Tecnicamente ti conviene sempre tentare con le approssimazioni, poi eventualmente utilizzare taylor.
Non so se l'h odetto l'altra volta, ma se vuoi puoi utilizzare taylor al numeratore e le approssimazioni al denominatore o viceversa e il risultato non cambia.
Con Taylor:
Lo sviluppo di $log(1+x)$ nell'intorno di $0$ è:
$log(1+x) = x - x^2/2 + o(x^2)$ (Ah, io mi fermo al secondo grado, ma si può continuare fino all'infinito)
quindi abbiamo: $log(1+x^6) = x^6 - x^12/2 + o(x^12)$
Lo sviluppo di $sin^2(x) = x^2 - x^4/3 +o(x^4)$
Quindi $sin^2(3x) = 9x^2 - 27x^4+ o(x^4)$
adesso andiamo a sostituire:
$lim_{x->0} {x^6 - x^12/2 + o(x^12)}/{x^4(9x^2 - 27x^4+ o(x^4))} = lim_{x->0} {x^6 - x^12/2 + o(x^12)}/{9x^6 - 27x^8+ o(x^8)} = lim_{x->0} {x^6(1 - x^6/2 + o(x^6))}/{9x^6(1 - 3x^2+ o(x^2))} = lim_{x->0} {1 - x^6/2 + o(x^6)}/{9(1 - 3x^2+ o(x^2))}$
e dato che:
$x^6/2, o(x^6), 3x^2 , o(x^2), $ vanno a $0$
si ottiene che $lim_{x->0} {1 - x^6/2 + o(x^6)}/{9(1 - 3x^2+ o(x^2))} = 1/9$
Tecnicamente ti conviene sempre tentare con le approssimazioni, poi eventualmente utilizzare taylor.
Non so se l'h odetto l'altra volta, ma se vuoi puoi utilizzare taylor al numeratore e le approssimazioni al denominatore o viceversa e il risultato non cambia.
Con Taylor:
Lo sviluppo di $log(1+x)$ nell'intorno di $0$ è:
$log(1+x) = x - x^2/2 + o(x^2)$ (Ah, io mi fermo al secondo grado, ma si può continuare fino all'infinito)
quindi abbiamo: $log(1+x^6) = x^6 - x^12/2 + o(x^12)$
Lo sviluppo di $sin^2(x) = x^2 - x^4/3 +o(x^4)$
Quindi $sin^2(3x) = 9x^2 - 27x^4+ o(x^4)$
adesso andiamo a sostituire:
$lim_{x->0} {x^6 - x^12/2 + o(x^12)}/{x^4(9x^2 - 27x^4+ o(x^4))} = lim_{x->0} {x^6 - x^12/2 + o(x^12)}/{9x^6 - 27x^8+ o(x^8)} = lim_{x->0} {x^6(1 - x^6/2 + o(x^6))}/{9x^6(1 - 3x^2+ o(x^2))} = lim_{x->0} {1 - x^6/2 + o(x^6)}/{9(1 - 3x^2+ o(x^2))}$
e dato che:
$x^6/2, o(x^6), 3x^2 , o(x^2), $ vanno a $0$
si ottiene che $lim_{x->0} {1 - x^6/2 + o(x^6)}/{9(1 - 3x^2+ o(x^2))} = 1/9$
Vorrei capire come devo fare lo sviluppo di Taylor
$ sin(tanx) $
$log(cosx) $
Devo porre per il primo $ tanx=y$ e per il secondo $cosx=y$ Giusto? Ma ho problemi con i calcoli....Sul libro non sono spiegati tutti i passaggi....GRAZIE!
$ sin(tanx) $
$log(cosx) $
Devo porre per il primo $ tanx=y$ e per il secondo $cosx=y$ Giusto? Ma ho problemi con i calcoli....Sul libro non sono spiegati tutti i passaggi....GRAZIE!
"deioo":
Vorrei capire come devo fare lo sviluppo di Taylor
$ sin(tanx) $
$log(cosx) $
Devo porre per il primo $ tanx=y$ e per il secondo $cosx=y$ Giusto? Ma ho problemi con i calcoli....Sul libro non sono spiegati tutti i passaggi....GRAZIE!
é un po complessa come cosa, ma solo per il fatto che devi svolgere un po di calcoli e capire quando è approssimata bene e quando meno
ti faccio l'esempio di $sin(tan(x))$
prima mi prendo lo sviluppo di $tan(x)$ fino al secondo ordine.
$tan(x) = x + x^3/3 + {2x^5}/15 + o(x^3)$
dopodichè come hai giustamente detto, pongo $tan(x)=y$
e faccio lo sviluppo di $sin(y) = y - y^3/3 + y^5/120 + o(y^5) $
Dopodichè procedo con la sostituzione di $y$ con l'intero sviluppo di $tan(x)$
ed ottengo:
$sin(tan(x)) = [x + x^3/3 + {2x^5}/15] - [(x + x^3/3 + {2x^5}/15)^3/3] - [(x + x^3/3 + {2x^5}/15)^5/120] ... $
Sviluppando questa formula dovresti ottenere $sin(tan(x))$ approssimata (in modo completo) fino a $x^5$ perchè come puoi notare, nello sviluppo ci sono anche potenze più grandi, che però si "completano" facendo altri passaggi
Sviluppandolo dovrebbe venire circa così: $sin(tan(x)) = x - x^3/6 + {3x^5}/120 +o(x^5) = x - x^3/6 + x^5/40 + o(x^5)$
è una delle prime volta che lo svolgo, ci sta che h ofatto qualche errore
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