Limite

[hc11]

spero di essere abbastanza chiaro..

lim(x->0) [(integrale definito tra 3x^2 e 2x^3 della funzione 5t*sin(t^3)dt)/ 27x^10]

come si risolve questo limite??
grazie

[_Tipper]

Così, a occhio, direi de l'Hopital.

[hc11]

ho provato, ma non è facile risolvere il numeratore..

[_Tipper]

Be', dato che $5t \sin(t^3)$ è una funzione continua in tutto $\mathbb{R}$ ammette primitiva. Sia $F(x)$ una sua primitiva, ovvero $F'(x) = 5x \sin(x^3)$, allora per il teorema fondamentale del calcolo integrale

$\int_{3x^2}^{2x^3} 5t \sin(t^3) dt = F(2x^3) - F(3x^2)$ di conseguenza il limite che hai proposto si può riscrivere così

$\lim_{x \to 0} \frac{F(2x^3) - F(3x^2)}{27 x^{10}}$

Applicando il teorema di de l'Hopital, derivando a numeratore e denominatore, si ottiene

$\lim_{x \to 0} \frac{6x^2 F'(2x^3) - 6x^2 F'(3x^2)}{270 x^9}$

e tenendo conto che $F'(x) = 5x \sin(x^3)$ si ottiene

$\lim_{x \to 0} \frac{6x^2 \cdot 10 x^3 \sin(8x^9) - 6x^2 \cdot 15x^2 \sin(27x^6)}{270 x^9}$

[hc11]

perfetto, grazie mille!

ho svolto e torna anche il risultato.