Limite

[Giova411]

$lim_(x->pi/4) (tan (x))^(tan (2x))$

A me risulta $e^(-1)$ ma non son sicuro perché non ho la soluzione.
Se a qualcuno va di farlo...

Grazie!

[_nicola de rosa]

"Giova411":$lim_(x->pi/4) (tan (x))^(tan (2x))$

A me risulta $e^(-1)$ ma non son sicuro perché non ho la soluzione.
Se a qualcuno va di farlo...

Grazie!

$tgx^(tg2x)=e^(tg(2x)*ln(tg(x)))$
Ora fai la sostituzione $x-pi/4=t$ da cui
$lim_(x->pi/4) (tan (x))^(tan (2x))=lim_(t->0)e^(tg(2t+pi/2)*ln(tg(t+pi/4))$
Ora $tg(2t+pi/2)=-1/(tg(2t)),tg(pi/4+t)=(tg(pi/4)+tg(t))/(1-tg(pi/4)tg(t))=(1+tg(t))/(1-tg(t))$ per cui
$lim_(t->0)tg(2t+pi/2)*ln(tg(t+pi/4))=lim_(t->0)-1/(tg(2t))*ln((1+tg(t))/(1-tg(t)))=lim_(t->0)-1/(tg(2t))*[ln(1+tgt)-ln(1-(tgt)]$=
$lim_(t->0)-1/(tg(2t))*tg(t)*[(ln(1+tgt))/(tgt)+(ln(1-(tgt))/(-tgt)]=lim_(t->0)-1/2(2t)/(tg(2t))*(tg(t))/t*[(ln(1+tgt))/(tgt)+(ln(1-(tgt))/(-tgt)]$
ed ora sono tutti limiti notevoli: infatti $lim_(t->0)(2t)/(tg(2t))=1,lim_(t->0)(tgt)/t=1,lim_(t->0)(ln(1+tgt))/(tgt)=lim_(t->0)(ln(1-tgt))/(-tgt)=1$ per cui il limite fa:
$e^(-1/2*1*1*2)=e^(-1)$

ovviamente il tutto lo si risolveva più semplicemente attraverso de l'hopital o con taylor ma l'ho svolto così per mostrare come ricundursi a limiti notevoli anche quando sempra improbabile.

[Giova411]

Grazie Nico!

Io ho fatto diversamente:

Ho usato: $(f(x))^g(x) = e^(g(x)*ln(f(x))$ quindi: $(tan x)^(tan2x) = e^((tan2x)*ln(tanx) )$

$lim_(x->pi/4) (tan (x))^(tan (2x)) = lim_(x->pi/4) e^(tan 2x * ln (tan x))$

Ecco qui studio l'esponente:

$lim_(x->pi/4) tan(2x)*ln(tan x)$

Applico de Hopital e mi ritrovo, dopo diverse semplificazioni, questo limite:

$lim_(x->pi/4) (- sin 2x) = -1$

Poi riprendo il lim iniziale:

$lim_(x->pi/4) e^(tan 2x * ln (tan x)) = e^(-1)$

Cosa ne pensi Nicola?
Non vorrei aver sbagliato ma avuto la fortuna di trovare il risultato giusto per una semplice coincidenza...

[_nicola de rosa]

"Giova411":Grazie Nico!

Io ho fatto diversamente:

Ho usato: $(f(x))^g(x) = e^(g(x)*ln(f(x))$ quindi: $(tan x)^(tan2x) = e^((tan2x)*ln(tanx) )$

$lim_(x->pi/4) (tan (x))^(tan (2x)) = lim_(x->pi/4) e^(tan 2x * ln (tan x))$

Ecco qui studio l'esponente:

$lim_(x->pi/4) tan(2x)*ln(tan x)$

Applico de Hopital e mi ritrovo, dopo diverse semplificazioni, questo limite:

$lim_(x->pi/4) (- sin 2x) = -1$

Poi riprendo il lim iniziale:

$lim_(x->pi/4) e^(tan 2x * ln (tan x)) = e^(-1)$

Cosa ne pensi Nicola?
Non vorrei aver sbagliato ma avuto la fortuna di trovare il risultato giusto per una semplice coincidenza...

non ho fatto i conti se applicando de l'hopital ti riconduci a quel limite che fa $-1$, comunque come già detto è un ulteriore modo di procedere questo che va lo stesso bene, basta trovarsi col risultato e fare i passaggi giusti.

[Giova411]

Si, grazie!

E' che non avevo letto queste due righe...

"nicola de rosa":
ovviamente il tutto lo si risolveva più semplicemente attraverso de l'hopital o con taylor ma l'ho svolto così per mostrare come ricundursi a limiti notevoli anche quando sempra improbabile.