Limite
Ciao, scusate le domande sempre più stupide, il fatto è però che io non capisco mai niente
sto cercando di imparare questi o piccoli, sono quindi partito dagli esercizi più semplici bloccandomi a questo limite
$lim_(xrarr0^+-)(x^2 - tg(2x^3))/(2x^5 + 5sin^3(x))$ io ho provato a sviluppare numeratore e denominatore ottenendo
$lim_(xrarr0^+-)(x^2 - (2x^3 + o(x^3)))/(2x^5 + 5(x + o(x))^3)$
il mio dubbio è questo, al numeratore dovrei avere $x^2 - 2x^3 + o(x^3)$ però per il mio libro diventa $x^2 + o(x^2)$
mentre per il resto dovrei esserci non capisco perchè $o(x^3)$ diventa $o(x^2)$, qualcuno può aiutarmi?
sto cercando di imparare questi o piccoli, sono quindi partito dagli esercizi più semplici bloccandomi a questo limite
$lim_(xrarr0^+-)(x^2 - tg(2x^3))/(2x^5 + 5sin^3(x))$ io ho provato a sviluppare numeratore e denominatore ottenendo
$lim_(xrarr0^+-)(x^2 - (2x^3 + o(x^3)))/(2x^5 + 5(x + o(x))^3)$
il mio dubbio è questo, al numeratore dovrei avere $x^2 - 2x^3 + o(x^3)$ però per il mio libro diventa $x^2 + o(x^2)$
mentre per il resto dovrei esserci non capisco perchè $o(x^3)$ diventa $o(x^2)$, qualcuno può aiutarmi?
Risposte
Sì, $x^2-2x^3+o(x^3)=x^2+o(x^2)$ per $x->0$,
infatti $o(x^2)$ significa infinitesimo di ordine superiore
a $x^2$ per $x->0$, e scrivendo $o(x^2)$ tu "butti via"
il termine $-2x^3$ e tutti quelli che chiaramente
sono infinitesimi di ordine superiore a $x^3$, cioè
con il termine $o(x^2)$ inglobi tutti gli infinitesimi di
ordine superiore a $x^2$, cioè arresti lo sviluppo al secondo ordine.
infatti $o(x^2)$ significa infinitesimo di ordine superiore
a $x^2$ per $x->0$, e scrivendo $o(x^2)$ tu "butti via"
il termine $-2x^3$ e tutti quelli che chiaramente
sono infinitesimi di ordine superiore a $x^3$, cioè
con il termine $o(x^2)$ inglobi tutti gli infinitesimi di
ordine superiore a $x^2$, cioè arresti lo sviluppo al secondo ordine.
Grazie fireball,
fammi capire bene, per $xrarr0$ diventa importante la potenza di grado inferiore, giusto?
ciò che mi lasciava spiazzato era che anche l'o piccolo diminuiva di grado
ma se cosi non fosse non potrei eliminare $-2x^3$, si penso di aver capito, grazie
fammi capire bene, per $xrarr0$ diventa importante la potenza di grado inferiore, giusto?
ciò che mi lasciava spiazzato era che anche l'o piccolo diminuiva di grado
ma se cosi non fosse non potrei eliminare $-2x^3$, si penso di aver capito, grazie
Sì, per $x->0$ sono i termini di grado minimo quelli che contano, dici bene...
E' proprio per questo che, ai fini del calcolo di
questo limite, si arresta lo sviluppo al secondo ordine.
E' proprio per questo che, ai fini del calcolo di
questo limite, si arresta lo sviluppo al secondo ordine.
Sono ancora qui che cerco di imparare gli o piccoli, sto risolvendo questo limite ma non so se è giusto come faccio
$lim_(xrarr+oo)x^3*(2^x - 2^-x)/(3^x + 3^-x)$ raccolgo perchè mi sembra conveniente, ottenendo
$lim_(xrarr+oo)x^3*2^x/3^x*(1 - 2^(-2x))/(1 + 3^(-2x))$ adesso credo che $x^3 = o(2^x)$ quindi $lim_(xrarr+oo)(2^x + o(2^x))/3^x * (1 - 2^(-2x))/(1 + 3^(-2x))$ adesso $2^x = o(3^x)$ dunque $lim_(xrarr+oo)(o(3^x))/3^x * (1 - 2^(-2x))/(1 + 3^(-2x))$
e perciò $0 * 1 = 0$
Stesso limite per $xrarr-oo$
so che non è lecito raccogliere $2^-x$ ma lo faccio perchè cosi ottengo degli infinitesimi, ottenendo
$lim_(xrarr-oo) x^3*3^x/2^x*(2^(2x) - 1)/(3^(2x) + 1)$ come prima $x^3 = o(3^x)$ quindi $lim_(xrarr-oo)(3^x + o(3^x))/2^x*(2^(2x) - 1)/(3^(2x) + 1)$ adesso $3^x = o(2^x)$ dunque
$lim_(xrarr-oo)(o(2^x))/(2^x)*(2^(2x) - 1)/(3^(2x) + 1)$
e perciò $+oo * 1 = +oo$
e giusto ?
$lim_(xrarr+oo)x^3*(2^x - 2^-x)/(3^x + 3^-x)$ raccolgo perchè mi sembra conveniente, ottenendo
$lim_(xrarr+oo)x^3*2^x/3^x*(1 - 2^(-2x))/(1 + 3^(-2x))$ adesso credo che $x^3 = o(2^x)$ quindi $lim_(xrarr+oo)(2^x + o(2^x))/3^x * (1 - 2^(-2x))/(1 + 3^(-2x))$ adesso $2^x = o(3^x)$ dunque $lim_(xrarr+oo)(o(3^x))/3^x * (1 - 2^(-2x))/(1 + 3^(-2x))$
e perciò $0 * 1 = 0$
Stesso limite per $xrarr-oo$
so che non è lecito raccogliere $2^-x$ ma lo faccio perchè cosi ottengo degli infinitesimi, ottenendo
$lim_(xrarr-oo) x^3*3^x/2^x*(2^(2x) - 1)/(3^(2x) + 1)$ come prima $x^3 = o(3^x)$ quindi $lim_(xrarr-oo)(3^x + o(3^x))/2^x*(2^(2x) - 1)/(3^(2x) + 1)$ adesso $3^x = o(2^x)$ dunque
$lim_(xrarr-oo)(o(2^x))/(2^x)*(2^(2x) - 1)/(3^(2x) + 1)$
e perciò $+oo * 1 = +oo$
e giusto ?
Ci sono varie cose che hai scritto che non servono
al calcolo di questo limite... Comunque il risultato è 0, non $+oo$.
Ricordati una cosa: il simbolo di o piccolo conviene usarlo
solo per gli infinitesimi, non per gli infiniti. $2^x=o(3^x)$ per $x->+oo$,
ok, ma qui la cosa è un po' ambigua, nel senso che è vero che
$(2^x)/(3^x)->0$ per $x->+oo$, però di solito uno scrive $f(x)=o(g(x))$
quando sia $f(x)$ che $g(x)$ sono infinitesimi, e quando $f(x)$ è un infinitesimo
di ordine superiore a $g(x)$. In questo caso, $2^x->+oo$ per $x->+oo$,
così come pure $3^x->+oo$. Quello che uno potrebbe concludere è che
$2^x$ è un infinito di ordine inferiore rispetto a $3^x$, ma questo non aiuta
molto... La cosa migliore da fare è identificare quali sono gli infinitesimi:
in questo caso - non c'è neanche bisogno di raccogliere - gli infinitesimi
sono $2^(-x)$ e $3^-x$, quindi scriveremo: $2^-x=o(1)$, $3^-x=o(1)$ per $x->+oo$,
il che sta appunto ad indicare che queste funzioni sono infinitesime,
non importa di che ordine (tra l'altro l'ordine non esiste in questo caso),
quello che conta è soltanto che sono infinitesime,
e un qualsiasi infinitesimo si può scrivere come $o(1)$.
A questo punto il limite dato è allora uguale a: $lim_(x->+oo) x^3 (2/3)^x = 0
per il noto teorema che ti dice che per $x->+oo$, è sempre l'esponenziale
che "vince" rispetto ad un qualsiasi polinomio o una qualsiasi potenza di x.
In questo caso l'esponenziale $(2/3)^x->0$, quindi il tutto tende a 0.
al calcolo di questo limite... Comunque il risultato è 0, non $+oo$.
Ricordati una cosa: il simbolo di o piccolo conviene usarlo
solo per gli infinitesimi, non per gli infiniti. $2^x=o(3^x)$ per $x->+oo$,
ok, ma qui la cosa è un po' ambigua, nel senso che è vero che
$(2^x)/(3^x)->0$ per $x->+oo$, però di solito uno scrive $f(x)=o(g(x))$
quando sia $f(x)$ che $g(x)$ sono infinitesimi, e quando $f(x)$ è un infinitesimo
di ordine superiore a $g(x)$. In questo caso, $2^x->+oo$ per $x->+oo$,
così come pure $3^x->+oo$. Quello che uno potrebbe concludere è che
$2^x$ è un infinito di ordine inferiore rispetto a $3^x$, ma questo non aiuta
molto... La cosa migliore da fare è identificare quali sono gli infinitesimi:
in questo caso - non c'è neanche bisogno di raccogliere - gli infinitesimi
sono $2^(-x)$ e $3^-x$, quindi scriveremo: $2^-x=o(1)$, $3^-x=o(1)$ per $x->+oo$,
il che sta appunto ad indicare che queste funzioni sono infinitesime,
non importa di che ordine (tra l'altro l'ordine non esiste in questo caso),
quello che conta è soltanto che sono infinitesime,
e un qualsiasi infinitesimo si può scrivere come $o(1)$.
A questo punto il limite dato è allora uguale a: $lim_(x->+oo) x^3 (2/3)^x = 0
per il noto teorema che ti dice che per $x->+oo$, è sempre l'esponenziale
che "vince" rispetto ad un qualsiasi polinomio o una qualsiasi potenza di x.
In questo caso l'esponenziale $(2/3)^x->0$, quindi il tutto tende a 0.
Sai che forse ho capito 
in pratica è meglio non usare gli o piccoli per $xrarr+-oo$
dopodichè bastava eliminare gli infinitesimi e $x^3$ che è un infinito di ordine inferiore rispetto all'esponenziale
e il limite diventava forse il più semplice che io abbia mai fatto,
cioè $lim_(xrarr+oo)(2/3)^x = 0$ e $lim_(xrarr-oo)(3/2)^x = 0$, ti sono ancora una volta debitore
ma nel frattempo continuo a fare esercizi che non si sa mai
in pratica è meglio non usare gli o piccoli per $xrarr+-oo$
dopodichè bastava eliminare gli infinitesimi e $x^3$ che è un infinito di ordine inferiore rispetto all'esponenziale
e il limite diventava forse il più semplice che io abbia mai fatto,
cioè $lim_(xrarr+oo)(2/3)^x = 0$ e $lim_(xrarr-oo)(3/2)^x = 0$, ti sono ancora una volta debitore
ma nel frattempo continuo a fare esercizi che non si sa mai
"baka":
in pratica è meglio non usare gli o piccoli per $xrarr+-oo$
No... E' meglio non usare gli o piccoli QUANDO LA FUNZIONE NON E' INFINITESIMA
per $x->x_0$, dove $x_0$ è al solito un punto di accumulazione del dominio eccetera eccetera,
che eventualmente può anche essere $+oo$ o $-oo$. L'o piccolo si usa quando
la funzione è infinitesima. Ad esempio, per $x->+oo$, $1/x^2 = o(1/x)$, cioè $1/x^2$
tende a 0 più rapidamente di $1/x$ quando $x->+oo$.
Ecco 
non so neanche leggere
stavo infatti facendo lo stesso errore provando ad utilizzare gli o piccoli per un'altra funzione non infinitesima
vado a riformulare l'esercizio, spero di non averti disturbato e grazie ancora
non so neanche leggerestavo infatti facendo lo stesso errore provando ad utilizzare gli o piccoli per un'altra funzione non infinitesima
vado a riformulare l'esercizio, spero di non averti disturbato e grazie ancora
Nessun disturbo, tranquillo...
Non mi stai mica mandando l'esercizio per mail,
questo è un forum, può postare chiunque...
Non mi stai mica mandando l'esercizio per mail,
questo è un forum, può postare chiunque...
In generale se $x_0$ è finito, se $x->x_0$
e se una certa funzione $f(x)$ - il cui dominio
ha $x_0$ come punto di accumulazione - tende
a 0 per $x->x_0$, cioè se $lim_(x->x_0) f(x) = 0$
allora ad esempio si può dire che:
$(x-x_0)^2=o(x-x_0)$ per $x->x_0$,
$(x-arctglog3)^(sqrt3+1) = o(x-arctglog3)$ per $x->arctglog3$
...
Chiaro il concetto?
e se una certa funzione $f(x)$ - il cui dominio
ha $x_0$ come punto di accumulazione - tende
a 0 per $x->x_0$, cioè se $lim_(x->x_0) f(x) = 0$
allora ad esempio si può dire che:
$(x-x_0)^2=o(x-x_0)$ per $x->x_0$,
$(x-arctglog3)^(sqrt3+1) = o(x-arctglog3)$ per $x->arctglog3$
...
Chiaro il concetto?
Certamente, il tuo esempio è chiarissimo
sto facendo però alcuni esercizi per scoprire nuovi eventuali dubbi
e per diventare un pò più sciolto nel maneggiare questi nuovi(per me) strumenti
sto facendo però alcuni esercizi per scoprire nuovi eventuali dubbi
e per diventare un pò più sciolto nel maneggiare questi nuovi(per me) strumenti
L'esempio strano della funzione con l'arcotangente
e con l'esponente irrazionale $sqrt3+1$
l'ho fatto per porre l'accento sul fatto che l'o piccolo
di qualcosa non indica una sola funzione,
ma una famiglia di funzioni, che hanno tutte
la caratteristica di andare a 0 più velocemente
di quello che sta dentro l'o piccolo, quando x
tende a un certo valore.
Il simbolo di o piccolo ha il "vantaggio" di inglobare
tutte queste funzioni che godono di questa proprietà.
e con l'esponente irrazionale $sqrt3+1$
l'ho fatto per porre l'accento sul fatto che l'o piccolo
di qualcosa non indica una sola funzione,
ma una famiglia di funzioni, che hanno tutte
la caratteristica di andare a 0 più velocemente
di quello che sta dentro l'o piccolo, quando x
tende a un certo valore.
Il simbolo di o piccolo ha il "vantaggio" di inglobare
tutte queste funzioni che godono di questa proprietà.
Ciao. come sempre rompo ancora
credo che ormai mi sia chiaro di come l'o piccolo rappresenti un contenitore
che contiene tutti gli infinitesimi di ordine superiore, ovviamente per $xrarr0$,
mentre conterrà tutti gli infiniti di ordine inferiore se però x tenderà a $+oo$, giusto ?
Per quanto riguarda invece lo sviluppo dell'o piccolo, credo finalmente di aver capito anche questo
nel seguente limite infatti $lim_(xrarr+oo)(cos(1/x))^(x^2)$ posso sviluppare il coseno in quanto infinitesimo, quindi
$lim_(xrarr+oo)e^((x^2)(log(1 - 1/2*(1/x)^2 + o((1/x)^2))))$, ma adesso cosa faccio?
Io ho sviluppato ancora, anche se non avevo mai fatto uno sviluppo ciclico e diventa $x^2((-1/2*(1/x)^2) + o((1/x)^2))$
dopodichè è giusto fare cosi $lim_(xrarr+oo)e^(-1/2 + o(1)) = 1/sqrt(e)$ ???
credo che ormai mi sia chiaro di come l'o piccolo rappresenti un contenitore
che contiene tutti gli infinitesimi di ordine superiore, ovviamente per $xrarr0$,
mentre conterrà tutti gli infiniti di ordine inferiore se però x tenderà a $+oo$, giusto ?
Per quanto riguarda invece lo sviluppo dell'o piccolo, credo finalmente di aver capito anche questo
nel seguente limite infatti $lim_(xrarr+oo)(cos(1/x))^(x^2)$ posso sviluppare il coseno in quanto infinitesimo, quindi
$lim_(xrarr+oo)e^((x^2)(log(1 - 1/2*(1/x)^2 + o((1/x)^2))))$, ma adesso cosa faccio?
Io ho sviluppato ancora, anche se non avevo mai fatto uno sviluppo ciclico e diventa $x^2((-1/2*(1/x)^2) + o((1/x)^2))$
dopodichè è giusto fare cosi $lim_(xrarr+oo)e^(-1/2 + o(1)) = 1/sqrt(e)$ ???
Esatto. Pero' devi dire che sviluppi il coseno
perché $1/x$ è infinitesimo per $x->+oo$,
e il coseno di roba infinitesima si può sviluppare...
Non devi dire che il coseno è infinitesimo.
perché $1/x$ è infinitesimo per $x->+oo$,
e il coseno di roba infinitesima si può sviluppare...
Non devi dire che il coseno è infinitesimo.
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