Limite
$Lim_(x->0) (x^x - 1)/(senx)(logx) = ((e^(xlogx) -1)/1)/(1/(senxlogx))$ applico Hopital:
$Lim_(x->0) ((e^(xlogx) *(lnx+1))/1)/(-(cosxlogx+(senx)/x)/(senxlogx)^2)$
da qui non so che fare? consigli?
$Lim_(x->0) ((e^(xlogx) *(lnx+1))/1)/(-(cosxlogx+(senx)/x)/(senxlogx)^2)$
da qui non so che fare? consigli?
Risposte
Io non userei de l'Hospital, ma farei così:
$(x^x-1)/(sin x) log x=(e^(x log x)-1)/(sinx) log x$.
Poichè $x log x -> 0$ per $x->0^+$, è $e^(x log x)-1\approx x log x$, quindi è
$(x^x-1)/(sin x) log x\approx (x log x)/(sinx) log x\approx log^2 x$
per $x->0^+$.
Concludendo:
$lim_{x->0^+}(x^x-1)/(sin x) log x=+oo$.
$(x^x-1)/(sin x) log x=(e^(x log x)-1)/(sinx) log x$.
Poichè $x log x -> 0$ per $x->0^+$, è $e^(x log x)-1\approx x log x$, quindi è
$(x^x-1)/(sin x) log x\approx (x log x)/(sinx) log x\approx log^2 x$
per $x->0^+$.
Concludendo:
$lim_{x->0^+}(x^x-1)/(sin x) log x=+oo$.
è molto più facile di quello che sembra, infatti:
$lim_(x->0)(x^x-1)/(sinx)=lim_(x->0)(e^(xlnx)-1)/(sinx)=lim_(x->0)((lnx+1)e^(xlnx))/cosx$ per $x->0: e^(xlnx)->1, cosx->0, lnx+1->-oo$ troviamo allora $((-oo)*1)/(0)=oo$
tornando al limite originale si ha:
$lim_(x->0)(x^x-1)/(sinx)lnx=oo*(-oo)=-oo$
molto interessante anche il metodo applicato da ficus2002. in questo modo, accade per caso che cambia l'ordine di infinitesimo dell'espressione al numeratore?
$lim_(x->0)(x^x-1)/(sinx)=lim_(x->0)(e^(xlnx)-1)/(sinx)=lim_(x->0)((lnx+1)e^(xlnx))/cosx$ per $x->0: e^(xlnx)->1, cosx->0, lnx+1->-oo$ troviamo allora $((-oo)*1)/(0)=oo$
tornando al limite originale si ha:
$lim_(x->0)(x^x-1)/(sinx)lnx=oo*(-oo)=-oo$
molto interessante anche il metodo applicato da ficus2002. in questo modo, accade per caso che cambia l'ordine di infinitesimo dell'espressione al numeratore?
verificando ho trovato $lim_(x->0)(x^x-1)/(xlnx)=1 rArr$ infinitesimi dello stesso ordine. l'operazione è pienamente lecita
ho capito, però tu la utilizzi a solo un parte del limite ovvero il $logx$.Si può fare ?
cosa?
ficus, ho visto quel video sul sito che hai nella firma... è veramente spaventoso. mai in vita mia mi sono sentito male, o sono svenuto guardando del sangue o gente aperta dopo qualche incidente, o gente aperta durante operazioni chirurgiche, ma il male che questi bastardi fanno agli animali mi fa sentire un tale gelo dentro... non siamo proprio degni di stare su questa terra....
$Lim_(x->0) (x^x - 1)/(senx)(logx) $
Ho visto che hai applicato hopital solo in questa parte di limite tralasciando il $logx$:
$lim_(x->0)(x^x-1)/(sinx)$
E' lecito?
Ho visto che hai applicato hopital solo in questa parte di limite tralasciando il $logx$:
$lim_(x->0)(x^x-1)/(sinx)$
E' lecito?
si in quanto $lim_(x->c)A(x)B(x)=lim_(x->c)A(x)*lim_(x->c)B(x)=ccL_1*ccL_2, AAccL in RR^**$
ok buona la dimostrazione
"micheletv":
ficus, ho visto quel video sul sito che hai nella firma... è veramente spaventoso. mai in vita mia mi sono sentito male, o sono svenuto guardando del sangue o gente aperta dopo qualche incidente, o gente aperta durante operazioni chirurgiche, ma il male che questi bastardi fanno agli animali mi fa sentire un tale gelo dentro... non siamo proprio degni di stare su questa terra....
Condivido pienamente le tue parole. Sono contento che anche tu la pensi così, perchè purtroppo c'è chi pensa che tali barbarie siano giuste. Per fortuna il governo italiano ha già provveduto a bloccare le pelli di foca provenienti dal Canada e altri paesi. E' ancora aperto, invece, il problema degli allevamenti da pelliccia cinesi, dove il trattamento agli animali è lo stesso (vedi www.nonlosapevo.com). E' possibile firmare online la petizione che verrà inviata al governo italiano per bloccare le importazioni delle pellicce cinesi (per chi vuole firmare www.lav.it).
Cmq sul forum http://www.topicamente.it/index.php c'è una sezione dedicata alla discussione di questi argomenti.
Chiedo scusa se l'argomento non c'entra con la matematica.
"micheletv":
molto interessante anche il metodo applicato da ficus2002. in questo modo, accade per caso che cambia l'ordine di infinitesimo dell'espressione al numeratore?
No, resta uguale.
"ficus2002":
[quote="micheletv"]ficus, ho visto quel video sul sito che hai nella firma... è veramente spaventoso. mai in vita mia mi sono sentito male, o sono svenuto guardando del sangue o gente aperta dopo qualche incidente, o gente aperta durante operazioni chirurgiche, ma il male che questi bastardi fanno agli animali mi fa sentire un tale gelo dentro... non siamo proprio degni di stare su questa terra....
Condivido pienamente le tue parole. Sono contento che anche tu la pensi così, perchè purtroppo c'è chi pensa che tali barbarie siano giuste. Per fortuna il governo italiano ha già provveduto a bloccare le pelli di foca provenienti dal Canada e altri paesi. E' ancora aperto, invece, il problema degli allevamenti da pelliccia cinesi, dove il trattamento agli animali è lo stesso (vedi www.nonlosapevo.com). E' possibile firmare online la petizione che verrà inviata al governo italiano per bloccare le importazioni delle pellicce cinesi (per chi vuole firmare www.lav.it).
Cmq sul forum http://www.topicamente.it/index.php c'è una sezione dedicata alla discussione di questi argomenti.
Chiedo scusa se l'argomento non c'entra con la matematica.[/quote]
Già, anche io sono veramente allibito...
riprovando da me mi è venuto in mente anche questa idea:
$Lim_(x->0) (x^x - 1)/((senx)(logx))$= $Lim_(x->0) (e^(xlogx) - 1)/(x(logx)) * x/(senx)$
da cui
$Lim_(x->0) (e^(xlogx) - 1)/(x(logx)) * 1/((senx)/x) = 1$
... piano piano
$Lim_(x->0) (x^x - 1)/((senx)(logx))$= $Lim_(x->0) (e^(xlogx) - 1)/(x(logx)) * x/(senx)$
da cui
$Lim_(x->0) (e^(xlogx) - 1)/(x(logx)) * 1/((senx)/x) = 1$
... piano piano
infatti, spezzi il limite e poi nel primo fai la sostituzione di variabili $y=xln(x)$ allora abbiamo che se $x ->0 => y->0$ quindi risolvi il limite notevole $(e^y-1)/y$ che fa 1 e quindi il risultato è 1 come tu hai giustamente scritto. questa cosa della sostituzione di variabili non è cosa che ci si accorge subito, ricordala per futuri esercizi
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