Limite
Qualcuno mi sa svolgere per favore il seguente limite:
$lim (m-> oo) (1 + r/m)^m$
Non capisco come si arrivi alla soluzione data (il che non mi sorprende visto che l'ultimo limite che ho calcolato risale a 12 anni fa).
Grazie
$lim (m-> oo) (1 + r/m)^m$
Non capisco come si arrivi alla soluzione data (il che non mi sorprende visto che l'ultimo limite che ho calcolato risale a 12 anni fa).
Grazie
Risposte
Premetto il ben noto limite addirittura definizione del numero e :
$ lim_(m rarr oo) (1+1/m)^m = e $.
Adesso conviene riscrivere l'espressione così : $ (1+r/m)^m = [1+1/(m/r)]^[(m/r)*r]
Ora $lim_(m rarr oo) [1+1/(m/r)]^(m/r) = e $ , se non ti convince poni :$ t = m/r $ , quando m tende a $oo$ anche t tende a $oo$ e il limite è proprio e.
In conclusione il limite cercato è : $ e ^ r $ .
$ lim_(m rarr oo) (1+1/m)^m = e $.
Adesso conviene riscrivere l'espressione così : $ (1+r/m)^m = [1+1/(m/r)]^[(m/r)*r]
Ora $lim_(m rarr oo) [1+1/(m/r)]^(m/r) = e $ , se non ti convince poni :$ t = m/r $ , quando m tende a $oo$ anche t tende a $oo$ e il limite è proprio e.
In conclusione il limite cercato è : $ e ^ r $ .
Grazie mille Camillo sei stato chiarissimo come al solito.
Ho dato un'occhiata on-line per rinfrescarmi la memoria su come si calcolano i limiti e, in breve, mi pare che il procedimento sia questo:
a) sostituire il numero a cui tende la variabile. Se l'espressione non e' $0/0$ o $oo/oo$ allora siamo arrivati alla soluzione. In caso contrario:
b) scomporre/riscrivere l'espressione in modo da evitare tale situazione e/o utilizzare i limiti notevoli in modo da arrivare (come fatto da te) alla soluzione
A tal proposito due domande:
1) e’ giusto/completo quanto detto in a) e b)? (sono sempre alla ricerca di conferme)
2) Per quanto riguarda I limiti notevoli, questi mi pare siano sempre presi per dati. Il procedimento per invece calcolarli e’ accessibile ed e’ normalmente parte integrante dell’argomento o richiede conoscenze uber-matematiche?
Grazie ancora
Ho dato un'occhiata on-line per rinfrescarmi la memoria su come si calcolano i limiti e, in breve, mi pare che il procedimento sia questo:
a) sostituire il numero a cui tende la variabile. Se l'espressione non e' $0/0$ o $oo/oo$ allora siamo arrivati alla soluzione. In caso contrario:
b) scomporre/riscrivere l'espressione in modo da evitare tale situazione e/o utilizzare i limiti notevoli in modo da arrivare (come fatto da te) alla soluzione
A tal proposito due domande:
1) e’ giusto/completo quanto detto in a) e b)? (sono sempre alla ricerca di conferme)
2) Per quanto riguarda I limiti notevoli, questi mi pare siano sempre presi per dati. Il procedimento per invece calcolarli e’ accessibile ed e’ normalmente parte integrante dell’argomento o richiede conoscenze uber-matematiche?
Grazie ancora
Preferisco darti una risposta globale piutttosto che suddivisa nei tuoi vari paragrafi.
Le forme indeterminate non sono solo quelle da te indicate, cioè :$ [0/0],[oo/oo] $ ma anche altre : $[oo -oo],[0*oo],[1^oo],[oo^0],[0^0]$.
Il metodo da te indicato di sostituire alla variabile il valore a cui tende è forse un po " brutale " comunque di base va bene; devi sempre considerare che si parla di limite e quindi di variabiole che tende a un certo valore .
Se avessi $lim_(x rarr 0)(cosx)^(1/x) $ questa è una forma indeterminata , ma se fosse $ lim_(x rarr 0) 1^(1/x) $ questa vale 1 comunque , perchè la base è 1 , non tende a 1.
Naturalmente limiti del tipo $ lim_(x rarr 0)1/x $ non sono forme indeterminate in quanto il limite è ovviamente $ oo$.
Le tecniche per arrivare a calcolare i limiti notevoli non richiedono certo conoscenze di ubermatematica ma un sano ripasso di :
*trigonometria
* funzioni logaritmiche ed esponenziali
e l'uso a volte di trucchi vari
Fuori discussione che per affrontare uno scritto di analisi , i limiti notevoli debbano essere conosciuti senza esitazioni.
E' bene anche conoscere i procedimenti usati per calcolare questi limiti notevoli in quanto possono essere utili per il calcolo di altri limiti.
*Un esempio di calcolo di limite notevole [ ln è il log in base e ]:
$lim_(x rarr 0) ln(1+x)/x = 1 $
pongo $ y = 1/x $ e quindi $ x = 1/y $;$ x rarr 0$ ;$ y rarr oo $.
Il limite diventa : $ lim_(y rarr oo) ln(1+1/y)/(1/y) = lim_(y rarr oo)y*ln(1+1/y) = lim_(y rarr oo) ln(1+1/y)^y = ln e = 1 $.
*Di grande aiuto nel calcolo di limiti sono i concetti e l'uso di infinitesimi, i famosi o piccoli (vedi : sviluppi di Taylor )..
*Molto usato e potente ( anche se un po' meccanico) è anche il metodo che sfrutta il Teorema di L'Hopital il quale è applicabile solo a forme di indecisione del tipo $[ oo/oo], [ 0/0] $.
Esempio : $lim_(x rarr oo) [ln(1+x^2)]/[lnx ]$ .
La forma di indecisione è del tipo $ [oo/oo] $.
Il T. di L'Hopital , sotto opportune condizioni , afferma che il limite cercato è uguale al limite del rapporto tra le derivate del numeratore e quella del denominatore e quindi :
$ lim_(x rarr oo ) [(2x)/(1+x^2)]/[1/x] = lim_(x rarr oo) (2x^2)/(x^2+1) = 2 $.
*Potentissimo e direi insostituibile in casi complicati il metodo che usa la formula di Taylor, approssima cioè le funzioni con polinomi : richiede una certa " sensibilità " per decidere a che termine fermarsi nello sviluppo.
* Ecco un esempio di " utile manipolazione, diciamo di tecnicismo " .
Si debba calcolare $lim_(x rarr x_0 ) (f(x))^(g(x)) $ e sia del tipo $ 1^oo$.
Conviene sfruttare la relazione : $ f(x) ^ g(x ) = e^(g(x)*ln(f(x)) $
Il problema dell'indeterminatezza viene spostato all'esponente e cambia tipologia ; diventa del tipo $oo*ln1 = [oo*0] $.
A questo punto può essere convenienet riscriverlo come $ [oo/(1/0)] $ e si è così ricondotti a una forma indeterminata del tipo $[oo/oo] $ affrontabile ad es. con il T. de L'Hopital.
Tutta questa chiacchierata per dire che ci sono varie tecniche per trattare i limiti ; bisogna acquisire una notevole capacità tecnica per tarttare limiti che a voilte , sono un po' impegnativi.
Le forme indeterminate non sono solo quelle da te indicate, cioè :$ [0/0],[oo/oo] $ ma anche altre : $[oo -oo],[0*oo],[1^oo],[oo^0],[0^0]$.
Il metodo da te indicato di sostituire alla variabile il valore a cui tende è forse un po " brutale " comunque di base va bene; devi sempre considerare che si parla di limite e quindi di variabiole che tende a un certo valore .
Se avessi $lim_(x rarr 0)(cosx)^(1/x) $ questa è una forma indeterminata , ma se fosse $ lim_(x rarr 0) 1^(1/x) $ questa vale 1 comunque , perchè la base è 1 , non tende a 1.
Naturalmente limiti del tipo $ lim_(x rarr 0)1/x $ non sono forme indeterminate in quanto il limite è ovviamente $ oo$.
Le tecniche per arrivare a calcolare i limiti notevoli non richiedono certo conoscenze di ubermatematica ma un sano ripasso di :
*trigonometria
* funzioni logaritmiche ed esponenziali
e l'uso a volte di trucchi vari
Fuori discussione che per affrontare uno scritto di analisi , i limiti notevoli debbano essere conosciuti senza esitazioni.
E' bene anche conoscere i procedimenti usati per calcolare questi limiti notevoli in quanto possono essere utili per il calcolo di altri limiti.
*Un esempio di calcolo di limite notevole [ ln è il log in base e ]:
$lim_(x rarr 0) ln(1+x)/x = 1 $
pongo $ y = 1/x $ e quindi $ x = 1/y $;$ x rarr 0$ ;$ y rarr oo $.
Il limite diventa : $ lim_(y rarr oo) ln(1+1/y)/(1/y) = lim_(y rarr oo)y*ln(1+1/y) = lim_(y rarr oo) ln(1+1/y)^y = ln e = 1 $.
*Di grande aiuto nel calcolo di limiti sono i concetti e l'uso di infinitesimi, i famosi o piccoli (vedi : sviluppi di Taylor )..
*Molto usato e potente ( anche se un po' meccanico) è anche il metodo che sfrutta il Teorema di L'Hopital il quale è applicabile solo a forme di indecisione del tipo $[ oo/oo], [ 0/0] $.
Esempio : $lim_(x rarr oo) [ln(1+x^2)]/[lnx ]$ .
La forma di indecisione è del tipo $ [oo/oo] $.
Il T. di L'Hopital , sotto opportune condizioni , afferma che il limite cercato è uguale al limite del rapporto tra le derivate del numeratore e quella del denominatore e quindi :
$ lim_(x rarr oo ) [(2x)/(1+x^2)]/[1/x] = lim_(x rarr oo) (2x^2)/(x^2+1) = 2 $.
*Potentissimo e direi insostituibile in casi complicati il metodo che usa la formula di Taylor, approssima cioè le funzioni con polinomi : richiede una certa " sensibilità " per decidere a che termine fermarsi nello sviluppo.
* Ecco un esempio di " utile manipolazione, diciamo di tecnicismo " .
Si debba calcolare $lim_(x rarr x_0 ) (f(x))^(g(x)) $ e sia del tipo $ 1^oo$.
Conviene sfruttare la relazione : $ f(x) ^ g(x ) = e^(g(x)*ln(f(x)) $
Il problema dell'indeterminatezza viene spostato all'esponente e cambia tipologia ; diventa del tipo $oo*ln1 = [oo*0] $.
A questo punto può essere convenienet riscriverlo come $ [oo/(1/0)] $ e si è così ricondotti a una forma indeterminata del tipo $[oo/oo] $ affrontabile ad es. con il T. de L'Hopital.
Tutta questa chiacchierata per dire che ci sono varie tecniche per trattare i limiti ; bisogna acquisire una notevole capacità tecnica per tarttare limiti che a voilte , sono un po' impegnativi.
"camillo":
Preferisco darti una risposta globale piutttosto che suddivisa nei tuoi vari paragrafi.
Naturalmente limiti del tipo $ lim_(x rarr 0)1/x $ non sono forme indeterminate in quanto il limite è ovviamente $ oo$.
Mmm... Sicuro? Quel limite non mi pare che esista, infatti
il limite per x che tende a 0 da destra non è uguale al limite
per x che tende a 0 da sinistra (rispettivamente $+oo$ e $-oo$).
Anche se ormai è diventato un luogo comune che $lim_(x->0) 1/x = oo$
"fireball":
[quote="camillo"]Preferisco darti una risposta globale piutttosto che suddivisa nei tuoi vari paragrafi.
Naturalmente limiti del tipo $ lim_(x rarr 0)1/x $ non sono forme indeterminate in quanto il limite è ovviamente $ oo$.
Mmm... Sicuro? Quel limite non mi pare che esista, infatti
il limite per x che tende a 0 da destra non è uguale al limite
per x che tende a 0 da sinistra (rispettivamente $+oo$ e $-oo$).
Anche se ormai è diventato un luogo comune che $lim_(x->0) 1/x = oo$
[/quote]Hai ragione , ma non volevo complicare le cose e così ho scritto una inesattezza
Meglio sostituirlo con questo limite :
$lim_(x rarr 0) 1/x^2 =+ oo $.
Mitico! Tutto chiaro ed interessante, grazie ancora Camillo
Ti segnalo degli ottimi appunti di lezione del prof. Verri - Polimi :
http://web.mate.polimi.it/viste/student ... amento=436
Lez. 08-Limiti
Lez. 10 - Infinitesimi e infiniti
Lez 14 -Applicazione delle derivate-Calcolo di limiti -Regola di de l'Hopital
Lez 15- Approssimazioni di funzioni con polinomi : Sviluppi di Taylor
http://web.mate.polimi.it/viste/student ... amento=436
Lez. 08-Limiti
Lez. 10 - Infinitesimi e infiniti
Lez 14 -Applicazione delle derivate-Calcolo di limiti -Regola di de l'Hopital
Lez 15- Approssimazioni di funzioni con polinomi : Sviluppi di Taylor
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