Limite
ciao ragazzi,
non riesco a calcolare il limite per x che tende a più infinito di
[cos(x)]^(1/x^2)
se non fosse chiara la scrittura:
coseno di x elevato a 1/x^2
grazie
ciao a tutti
non riesco a calcolare il limite per x che tende a più infinito di
[cos(x)]^(1/x^2)
se non fosse chiara la scrittura:
coseno di x elevato a 1/x^2
grazie
ciao a tutti
Risposte
Forse la mia è un'idiozia, ma non è = 1?
Ragionando per semplice sostituzione:
1/x^2-> 1/inf -> tende a 0
Qualsiasi numero elevato a zero è 1, no?
Ma sono quasi sicuro di aver sparato 1 di quelle cavolate mostruose... In tal caso chiedo scusa.
Ragionando per semplice sostituzione:
1/x^2-> 1/inf -> tende a 0
Qualsiasi numero elevato a zero è 1, no?
Ma sono quasi sicuro di aver sparato 1 di quelle cavolate mostruose... In tal caso chiedo scusa.
no non puoi dirlo perchè come base non hai un numero fisso in quanto il limite di cosx per x che tende a più infinito non esiste, quindi non lo puoi fare il ragionamento che hai fatto.
il limite non esiste
per il teorema ponte basta prendere due sotto-successioni x=2*pigreco*k, e l'altra x=(2k+1)*pigreco/2,
f(x=2*pigreco*k) =>1 per k=>+ infinito
f(x=(2k+1)*pigreco/2)=>0 per k=>+ infinito
un modo elegante per dimostrarlo è questo..
per il teorema ponte basta prendere due sotto-successioni x=2*pigreco*k, e l'altra x=(2k+1)*pigreco/2,
f(x=2*pigreco*k) =>1 per k=>+ infinito
f(x=(2k+1)*pigreco/2)=>0 per k=>+ infinito
un modo elegante per dimostrarlo è questo..
No il ragionamento è corretto, il limite è uno. Comunque per esser più sicuri scriviamo il tutto così:
$lim_{x\to+\infty}e^{({ln(cosx)}/x^2)}=e^0=1$ questo perchè quando si va verso infinito il coseno oscilla tra 0 e 1 ed il logaritmo rispettivamente a -infinito ed a zero. Nel secondo caso non ci sono problemi, mentre nel primo ci sarebbe indeterminazione. Se si guarda bene però ci si accorge che il coseno quando tende a zero lo fa asintoticamente a $\pm x$. Lo sviluppo di Taylor centrato in $k\pi/2$ è: $f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=>{(cos((2k+1)\pi/2)=0-sin((2k+1)\pi/2)(x-(2k+1)\pi/2)),(cos(2k\pi/2)=0+sin(2k\pi/2)(x-2k\pi/2)):}={(-x+(2k+1)\pi/2),(+x-2k\pi/2):}$
Visto il dominio del logaritmo però possiamo accettare solo i k pari e quindi avremo: $lim_{x\to+\infty}e^{{ln(x-2k\pi)}/x^2}\approxlim_{x\to+\infty}e^{{lnx}/x^2}=e^0=1$
Spero di esser stato chiaro
$lim_{x\to+\infty}e^{({ln(cosx)}/x^2)}=e^0=1$ questo perchè quando si va verso infinito il coseno oscilla tra 0 e 1 ed il logaritmo rispettivamente a -infinito ed a zero. Nel secondo caso non ci sono problemi, mentre nel primo ci sarebbe indeterminazione. Se si guarda bene però ci si accorge che il coseno quando tende a zero lo fa asintoticamente a $\pm x$. Lo sviluppo di Taylor centrato in $k\pi/2$ è: $f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=>{(cos((2k+1)\pi/2)=0-sin((2k+1)\pi/2)(x-(2k+1)\pi/2)),(cos(2k\pi/2)=0+sin(2k\pi/2)(x-2k\pi/2)):}={(-x+(2k+1)\pi/2),(+x-2k\pi/2):}$
Visto il dominio del logaritmo però possiamo accettare solo i k pari e quindi avremo: $lim_{x\to+\infty}e^{{ln(x-2k\pi)}/x^2}\approxlim_{x\to+\infty}e^{{lnx}/x^2}=e^0=1$
Spero di esser stato chiaro
Derive mi dice che il limite è 1, ma non mi disegna il grafico.. Strano..
La funzione $cos x$ per x che tende a $ +00 $ oscilla continuamente e periodicamente tra $ -1 , +1 $.
Quando $cos x $ assume valori negativi ( e lo fa periodicamente) la funzione $ y =(cosx)^(1/x^2)$ è del tipo : (numero negativo)^ ( numero reale ) e non è definita in quanto la funzione $ y = x^(alfa) $ con alfa reale è definita solo per $ x > 0 $ .
Quindi il limite per x che tende a $+00$ non esiste .
Derive, infatti, disegna il grafico solo nell'intervallo $[-pi/2, pi/2] $ ove la base della funzione "esponenziale" è positiva.
Camillo
P.S. Le considerazioni di cavallipurosangue sarebbero corrette se si trattasse di calcolare il limite per x che tende a $+00$ di : $ |cosx| ^ (1/x^2) $ , come anche confermato dal grafico fatto con Derive .
Quando $cos x $ assume valori negativi ( e lo fa periodicamente) la funzione $ y =(cosx)^(1/x^2)$ è del tipo : (numero negativo)^ ( numero reale ) e non è definita in quanto la funzione $ y = x^(alfa) $ con alfa reale è definita solo per $ x > 0 $ .
Quindi il limite per x che tende a $+00$ non esiste .
Derive, infatti, disegna il grafico solo nell'intervallo $[-pi/2, pi/2] $ ove la base della funzione "esponenziale" è positiva.
Camillo
P.S. Le considerazioni di cavallipurosangue sarebbero corrette se si trattasse di calcolare il limite per x che tende a $+00$ di : $ |cosx| ^ (1/x^2) $ , come anche confermato dal grafico fatto con Derive .
Mi sa che avete ragione, ma un ultimo dubbio: come mai derive mi indica come limite 1?
Se vuoi calcolare $lim_{x to +oo} cos(x)^(1/(x^2))$, Derive 6 indica "?". Questo è il risultato esatto, in quanto il limite non esiste.
Dopo ulteriori riflessioni concludo che :
* il limite non esiste
* il limite non esiste neppure nel caso di $|(cosx)|^(1/x^2) $, contrariamnete a quanto da me detto prima .
* la dimostrazione più semplice ed efficace è quella di alastor ; non c'è dubbio, nei punti con $ x = (2k+1)pi/2 $ la funzione vale sempre 0.
Nel grafico della funzione $|cosx|^(1/x^2)$ si vede bene che in questi punti la funzione va a 0 ; ove è situata la croce x vale circa 15 .
Camillo
* il limite non esiste
* il limite non esiste neppure nel caso di $|(cosx)|^(1/x^2) $, contrariamnete a quanto da me detto prima .
* la dimostrazione più semplice ed efficace è quella di alastor ; non c'è dubbio, nei punti con $ x = (2k+1)pi/2 $ la funzione vale sempre 0.
Nel grafico della funzione $|cosx|^(1/x^2)$ si vede bene che in questi punti la funzione va a 0 ; ove è situata la croce x vale circa 15 .
Camillo
Si è vero ha infiniti punti di discontinuità purtropo non di terza specie. Quello che ho detto allora non è corretto neanche in quel caso..
potreste dirmi per favore come devo fare per calcolare questo limite (non con la formula di taylor) e se cortesemente potreste dirmi anche qual'è il risultato:
lim di x tende a 0 di sqrt(1+log(x+1))-1/sin(x)
GRAZIE
lim di x tende a 0 di sqrt(1+log(x+1))-1/sin(x)
GRAZIE
Ma è tutto fratto sin(x)?
si è tutto fratto sinx!!!!!!!!! 
$lim_{x to 0} (sqrt(1+log(x+1))-1)/sin(x)$
Applicando de l'Hopital si ottiene:
$lim_{x to 0} (sqrt(1+log(x+1))-1)/sin(x) = lim_{x to 0} (1/(2*(x + 1)*sqrt(LN(x + 1) + 1)))/cosx =
$lim_{x to 0} 1/(2*(x + 1)*cosx*sqrt(LN(x + 1) + 1)) = 1/(2*(0 + 1)*cos(0)*sqrt(LN(0 + 1) + 1)) = 1/(2*(1)*1*sqrt(LN(1) + 1)) = $
$1/(2*sqrt(0 + 1)) = 1/(2*sqrt(1)) = 1/(2*1) = 1/2$
$lim_{x to 0} (sqrt(1+log(x+1))-1)/sin(x) = 1/2$
Applicando de l'Hopital si ottiene:
$lim_{x to 0} (sqrt(1+log(x+1))-1)/sin(x) = lim_{x to 0} (1/(2*(x + 1)*sqrt(LN(x + 1) + 1)))/cosx =
$lim_{x to 0} 1/(2*(x + 1)*cosx*sqrt(LN(x + 1) + 1)) = 1/(2*(0 + 1)*cos(0)*sqrt(LN(0 + 1) + 1)) = 1/(2*(1)*1*sqrt(LN(1) + 1)) = $
$1/(2*sqrt(0 + 1)) = 1/(2*sqrt(1)) = 1/(2*1) = 1/2$
$lim_{x to 0} (sqrt(1+log(x+1))-1)/sin(x) = 1/2$
grazie mille ho riletto la tecnoca sul libro l'ho applicata e ho capito che era molto facile!!!!!
GRAZIE
GRAZIE
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