Limite
Ciao a tutti sono nuovo, questo è il mio primo post!
So già che "usufuirò" un sacco di questo forum!
Spero che possiate aiutarmi con questo limite
Allora:
Lim x^3 + x^3x
x-> + ∞ 3^x + cos(2^x)
l'apice stà per elevamento a potenza. quindi x^3x = x alla 3x ecc.
Spero si capisca
Grazie
So già che "usufuirò" un sacco di questo forum!
Spero che possiate aiutarmi con questo limite
Allora:
Lim x^3 + x^3x
x-> + ∞ 3^x + cos(2^x)
l'apice stà per elevamento a potenza. quindi x^3x = x alla 3x ecc.
Spero si capisca
Grazie
Risposte
io ti direi che fa $+\infty$, ma sembra che derive non sia d'accordo....
In effetti Derive va in tilt nel calcolo del limite che comunque è senz'altro pari a $+00$.
Infatti a numeratore l'elemento che ha infinito di ordine superiore è $x^(3x)$; mentre a denominatore è $3^x$, l'altro elemento del denominatore , essendo un coseno oscilla tra -1 e +1 e quindi non dà contributo alcuno quando x tende a $+00$.
Quindi il limite dato è asintotico a questo : $(x^(3x))/3^x$ e il numeratore tende a $+00$ molto più rapidamente che il denominatore ;se lo riscrivo così :$(x^3/3)^x$ e ancora più chiaro che il limite cercato è$+00$, come confermato dal grafico della funzione fatto con Derive.
Camillo
Infatti a numeratore l'elemento che ha infinito di ordine superiore è $x^(3x)$; mentre a denominatore è $3^x$, l'altro elemento del denominatore , essendo un coseno oscilla tra -1 e +1 e quindi non dà contributo alcuno quando x tende a $+00$.
Quindi il limite dato è asintotico a questo : $(x^(3x))/3^x$ e il numeratore tende a $+00$ molto più rapidamente che il denominatore ;se lo riscrivo così :$(x^3/3)^x$ e ancora più chiaro che il limite cercato è$+00$, come confermato dal grafico della funzione fatto con Derive.
Camillo
Si infatti anche io ero arrivato a qualcosa di simile. Dicevo che ci poteva ricondurre a $\lim_{x\to+\infty}e^{3x\ln(\frac{x}{\root[3]{3}})}$. Quindi giungevo alle coclusioni, ma come mai derive fa questa confusione??
Ok, grazie a tutti e due. Mi era venuto in mente che si facesse con la regola degli infiniti di ordine superiore, ma poi ho lasciato perdere! 
Grazie
Grazie
Io Derive non lo capisco certe volte...eppure sarebbe utilie.
Per usarlo correttamente devi seguire un corso di tre mesi all'università!
Per usarlo correttamente devi seguire un corso di tre mesi all'università!
Nuovo quesito:
$lim$ $2x + sqrt(4x^2+x)$
$x->-oo$
Risulta per caso $-oo$?
Ci provo:
$2x+sqrt(x^2(4+x/x^2))$ quindi ho che: $2x+xsqrt(4+1/x)$ la parentesi tende a 2. Quindi ho $2x + 2x$ che dovrebbe dare $(-oo) + (-oo)$ = $-oo$
$lim$ $2x + sqrt(4x^2+x)$
$x->-oo$
Risulta per caso $-oo$?
Ci provo:
$2x+sqrt(x^2(4+x/x^2))$ quindi ho che: $2x+xsqrt(4+1/x)$ la parentesi tende a 2. Quindi ho $2x + 2x$ che dovrebbe dare $(-oo) + (-oo)$ = $-oo$
Non è corretto perche $sqrt(x^2) = |x| $,e quando x è negativo(tende infatti a -00) si ha che : |x| = -x ; questo è molto importante da sapere e quindi nel caso che x tenda a -oo hai ancora una forma indeterminata del tipo $ 00-00$.
In questi casi è utile vedere il limite come : $ a+b $ e se moltiplichi numeratore e denominatore per $a-b $ elimini la indeterminatezza .
Infatti nel caso specifico moltiplica numeratore e denominatore per $ 2x-sqrt(4x^2+x) $ e otterrai :
$ (4x^2-4x^2-x)/(2x-sqrt(4x^2+x)) = -x/(2x-sqrt(4x^2+x)$
Adesso raccogli $x^2$ entro radice al denominatore e portandolo furoi dalla radice , diventa |x| e quindi essendo x negativo diventa -x, allora arrivi a questo :
$ -x/(2x+xsqrt(4+1/x))$ , raccogli ora x al denominatore e avrai $ -x/(x(2+sqrt(4+1/x)))$ facendo tendere x a -00 si ottiene il risultato : $ -1/4 $.
Camillo
In questi casi è utile vedere il limite come : $ a+b $ e se moltiplichi numeratore e denominatore per $a-b $ elimini la indeterminatezza .
Infatti nel caso specifico moltiplica numeratore e denominatore per $ 2x-sqrt(4x^2+x) $ e otterrai :
$ (4x^2-4x^2-x)/(2x-sqrt(4x^2+x)) = -x/(2x-sqrt(4x^2+x)$
Adesso raccogli $x^2$ entro radice al denominatore e portandolo furoi dalla radice , diventa |x| e quindi essendo x negativo diventa -x, allora arrivi a questo :
$ -x/(2x+xsqrt(4+1/x))$ , raccogli ora x al denominatore e avrai $ -x/(x(2+sqrt(4+1/x)))$ facendo tendere x a -00 si ottiene il risultato : $ -1/4 $.
Camillo
Hai ragione Camillo!
Eppure avevo cominciato a razionalizzare...ho sbagliato il segno al numeratore e ho sbagliato tutto!
Sei di grande aiuto!
Eppure avevo cominciato a razionalizzare...ho sbagliato il segno al numeratore e ho sbagliato tutto!
Sei di grande aiuto!
E questo?
$lim$ $(|x-2|)/((x^2+1)(x-2))$
$x->2+$
So che vale $1/5$ perchè semplifico $(x-2)$, però c'è il modulo. Come faccio a giustificare questo modo di procedere? Forse perchè x tende a 2+ (quindi una quantità maggiore di 2, quindi |x-2| è sempre 0+, quindi positivo, ed il modulo non serve. Ci sta?
$lim$ $(|x-2|)/((x^2+1)(x-2))$
$x->2+$
So che vale $1/5$ perchè semplifico $(x-2)$, però c'è il modulo. Come faccio a giustificare questo modo di procedere? Forse perchè x tende a 2+ (quindi una quantità maggiore di 2, quindi |x-2| è sempre 0+, quindi positivo, ed il modulo non serve. Ci sta?
Si mi sembra che possa andare!
Eccone un altro questo si risolve con i limiti notevoli.
$lim$ $(1-cosx)/(1-cos(x/2))$
$x->0$
Ricordando che $limx->0$ di: $(1-cosx)/x^2 = 1/2$ abbiamo che: $limx->0$ di: $((1-cosx)/x^2)*((x^2)/((1-cos(x/2))/(x/2)^2(x/2)^2))$
quindi risulta $limx->0$ di: $(1-cosx)/(x^2)*(1/(1-cos(x/2)))/(x/2)^2*x^2/(x/2)^2$
qui non riesco a fare "quadrare" i conti. Mi sa che mi sono stancato troppo a scrivere espressioni al pc! Quanto risulta per voi?
Thanks
$lim$ $(1-cosx)/(1-cos(x/2))$
$x->0$
Ricordando che $limx->0$ di: $(1-cosx)/x^2 = 1/2$ abbiamo che: $limx->0$ di: $((1-cosx)/x^2)*((x^2)/((1-cos(x/2))/(x/2)^2(x/2)^2))$
quindi risulta $limx->0$ di: $(1-cosx)/(x^2)*(1/(1-cos(x/2)))/(x/2)^2*x^2/(x/2)^2$
qui non riesco a fare "quadrare" i conti. Mi sa che mi sono stancato troppo a scrivere espressioni al pc! Quanto risulta per voi?
Thanks
Non servono i limiti notevoli. Applicando la formula di duplicazione del coseno si ha:
$lim_(x->0)(1-cosx)/(1-cos(x/2)) = lim_(x->0)(2(sen^2(x/2)))/(1-cos(x/2))=lim_(x->0)2(1+cos(x/2)) = 4$
$lim_(x->0)(1-cosx)/(1-cos(x/2)) = lim_(x->0)(2(sen^2(x/2)))/(1-cos(x/2))=lim_(x->0)2(1+cos(x/2)) = 4$
Hai ragione! Ci sono appena riuscito sul foglietto, infatti stavo per postare la soluzione, poi ho visto che avevi scritto tu 
Grazie cmq!
Grazie cmq!
Se ho
$lim_(x->0)(cosx-cos(2x))/(1-cosx)$ dobbiamo risolverlo con i limiti notevoli.
So che $lim_(x->0)(1-cosx)/x^2=1/2$ quindi posso scrivere: $-(-x)^2(1-cosx-1)/x^2+(1-cos(2x)-1)/(2x^2)*(2x^2)/((1-cosx/x^2)*(x^2))$
E' giusto fino a qua?
Se dopo faccio tendere ad $1/2$ ciò che posso mi viene fuori 1...derive dice 3, voi?
Grazie
$lim_(x->0)(cosx-cos(2x))/(1-cosx)$ dobbiamo risolverlo con i limiti notevoli.
So che $lim_(x->0)(1-cosx)/x^2=1/2$ quindi posso scrivere: $-(-x)^2(1-cosx-1)/x^2+(1-cos(2x)-1)/(2x^2)*(2x^2)/((1-cosx/x^2)*(x^2))$
E' giusto fino a qua?
Se dopo faccio tendere ad $1/2$ ciò che posso mi viene fuori 1...derive dice 3, voi?
Grazie
Se fai due volte l'Hopital vedi che viene proprio 3
$lim_(x->0) (cosx - cos(2x))/(1 - cosx) = $
$ = lim_(x->0) (cosx - cos^2x + sin^2x)/(1 - cosx) =
$= lim_(x->0) (cosx(1 - cosx) + sin^2x)/(1 - cosx) = lim_(x->0) (cosx + (1-cos^2x)/(1-cosx)) = $
$= lim_(x->0) (cosx + 1 + cosx) = 3$
$ = lim_(x->0) (cosx - cos^2x + sin^2x)/(1 - cosx) =
$= lim_(x->0) (cosx(1 - cosx) + sin^2x)/(1 - cosx) = lim_(x->0) (cosx + (1-cos^2x)/(1-cosx)) = $
$= lim_(x->0) (cosx + 1 + cosx) = 3$
Si ok, grazie mille, però l'esercizio mi richiede di applicare i limiti notevoli. 
$lim_(x->0) (cosx - cos(2x))/(1 - cosx) = $
$ = lim_(x->0) (cosx - cos^2x + sin^2x)/(1 - cosx) =
$= lim_(x->0) (cosx(1 - cosx) + sin^2x)/(1 - cosx)$
A questo punto dividi numeratore e denominatore per $x^2$ ed è fatta.
$ = lim_(x->0) (cosx - cos^2x + sin^2x)/(1 - cosx) =
$= lim_(x->0) (cosx(1 - cosx) + sin^2x)/(1 - cosx)$
A questo punto dividi numeratore e denominatore per $x^2$ ed è fatta.
Quindi
$(cosx(1-cosx)/x^2+(sen^2(x))/x^2)/(1-cosx/x^2)$ => $(cosx(1/2)+(sen^2(x))/x^2)/(1/2)$ => $2(1/2+(sen^2(x))/x^2) => 1
A me viene sempre 1! Faccio sparire sen^2x/x^2...e resta $2*1/2$
$(cosx(1-cosx)/x^2+(sen^2(x))/x^2)/(1-cosx/x^2)$ => $(cosx(1/2)+(sen^2(x))/x^2)/(1/2)$ => $2(1/2+(sen^2(x))/x^2) => 1
A me viene sempre 1! Faccio sparire sen^2x/x^2...e resta $2*1/2$
Ma guarda che $(sin^2x)/x^2$ tende a 1, non a 0...
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