Limite
lim x->inf sqrt(x)*((log(1+1/x^2))+1/x)
il limite tende a 0 o a 1/4???
il limite tende a 0 o a 1/4???
Risposte
te l'ho solo controllato con il computer...
Ciao.
Marvin
Allora, 1/x tende ovviamente a 0 ...
sqrt(x)log(1 + 1/x^2) presenta la forma indeterminata
inf*0 ... Per le proprietà dei logaritmi possiamo scrivere:
log((1 + 1/x^2)^sqrt(x)) ed ora consideriamo il limite dell'argomento
del logaritmo... lim[x->inf] (1 + 1/x^2)^sqrt(x) ... Riscriviamo
la funzione così, per ottenere il limite notevole di e:
((1 + 1/x^2)^(x^2))^(sqrt(x)/x^2) = (razionalizzando) = ((1 + 1/x^2)^(x^2))^(1/(x*sqrt(x))
La base della potenza tende ad e, l'esponente a 0, quindi il tutto tende a e^0 = 1 ,
log 1 = 0 e allora tutto il limite vale 0.
sqrt(x)log(1 + 1/x^2) presenta la forma indeterminata
inf*0 ... Per le proprietà dei logaritmi possiamo scrivere:
log((1 + 1/x^2)^sqrt(x)) ed ora consideriamo il limite dell'argomento
del logaritmo... lim[x->inf] (1 + 1/x^2)^sqrt(x) ... Riscriviamo
la funzione così, per ottenere il limite notevole di e:
((1 + 1/x^2)^(x^2))^(sqrt(x)/x^2) = (razionalizzando) = ((1 + 1/x^2)^(x^2))^(1/(x*sqrt(x))
La base della potenza tende ad e, l'esponente a 0, quindi il tutto tende a e^0 = 1 ,
log 1 = 0 e allora tutto il limite vale 0.
Ma forse la funzione di cui bisogna calcolare il limite è diversa...
sqrt(x)*(log(1+1/x^2)+1/x)
In questo caso basta svolgere il prodotto e si otterrà:
sqrt(x)*log(1 + 1/x^2) + sqrt(x)/x = sqrt(x)*log(1 + 1/x^2) + 1/sqrt(x)
Il limite del primo addendo l'ho già calcolato, il limite del secondo è 0,
quindi anche in questo caso il limite è 0.
sqrt(x)*(log(1+1/x^2)+1/x)
In questo caso basta svolgere il prodotto e si otterrà:
sqrt(x)*log(1 + 1/x^2) + sqrt(x)/x = sqrt(x)*log(1 + 1/x^2) + 1/sqrt(x)
Il limite del primo addendo l'ho già calcolato, il limite del secondo è 0,
quindi anche in questo caso il limite è 0.
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