Limite

[artas1]

Allora ho appurato nel topic "Derive e Logaritmo" che le 2 scritture sono differenti, il problema ora stava nel come risolvere LN(ê + 1/(n + 1))^(n + 1), credo che la proprietà dei logaritmi lnx^n=nlnx non si possa applicare, ed inoltre ho difficoltà con la 'e' presente nell'argomento del logaritmo nel ricondurre tutto ad un limite notevole, chi mi può spiegare?

[Sk_Anonymous]

Il limite e' difficile da scrivere,percio' devi stare attento alle
notazioni e ai vari passaggi.
Cominciamo col dire che si puo' sostituire n+1 con n,dato che
n--->+inf.
Quindi,indicando il limite con L,si ha (ometto n-->+inf):
L=lim[ln(e+1/n)]^n
Poniamo ora: 1/n=e^(z+1)-e ed osserviamo che
se n-->inf allora z-->0.
Avremo:
L=lim[ln(e+e^(z+1)-e)]^(1/(e(e^z-1))=lim[(z+1)]^(1/(e(e^z-1))
Ovvero:
L=lim[((z+1)^(1/z))^(z/(e^z-1)*1/e)]

Ora si sa che: lim[(1+z)^(1/z)]=e ed anche lim((e^z-1)/z)=1.
(sempre per z-->0).
Ne segue:
L=e^(1*1/e)=e^(e^(-1))
karl.

[Principe2]

scusa Karl, vorrei un chiarimento:
anch'io ho tentato di fare quel limite con sostituzioni folli, però mi è venuto il dubbio che, se la nuova variabile mi tende a zero, per n che tende a +inf, allora dovrei calcolare un limite verso un punto che non è di accumulazione. fammi sapere se ho detto cretinata!
ciao

[Sk_Anonymous]

Penso che una volta fatta la sostituzione,
subentra una diversa funzione che avra'
un punto d'accumulazione compatible
con la ricerca del limite.Se non fosse cosi'
la maggior parte dei limiti notevoli(che si ottengono
spesso per sostituzione) cadrebbero.
Salvo errori.
Saluti da karl.