Limite (2 variabili)
$ lim_((x,y) -> (0,0))(cos(x+y)-1)/sqrt((x^2+y^2)) $
io ho riscritto il limite come
$ lim_((x,y) -> (0,0))(1-cos(x+y))/sqrt((x^2+y^2)) $
e l'ho svolto così
$ lim_((x,y) -> (0,0))(1-cos(x+y))/sqrt((x^2+y^2))=(1-cos(x+y))/sqrt((x^2+y^2))* sqrt((x^2+y^2))/sqrt((x^2+y^2))=(1-cos(x+y))/(x^2+y^2)*sqrt((x^2+y^2))=1/2*sqrt((x^2+y^2))=0 $
poi però rguardandolo penso di aver sbagliato perchè per poter svolgerlo con il limite notevole doveva essere al quadrato l'argomento del coseno, ovvero
$ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2 $
ai fini del risultato non dovrebbe cambiare nulla devo solo aggiungere 2xy sia al numeratore che denominatore e la parte finale verrebbe così no ?
$ lim_((x,y) -> (0,0)) [(1-cos(x+y))]/[(x^2+y^2)+2xy]*sqrt((x^2+y^2)) +2xy =1/2*sqrt((x^2+y^2))+2xy $
io ho riscritto il limite come
$ lim_((x,y) -> (0,0))(1-cos(x+y))/sqrt((x^2+y^2)) $
e l'ho svolto così
$ lim_((x,y) -> (0,0))(1-cos(x+y))/sqrt((x^2+y^2))=(1-cos(x+y))/sqrt((x^2+y^2))* sqrt((x^2+y^2))/sqrt((x^2+y^2))=(1-cos(x+y))/(x^2+y^2)*sqrt((x^2+y^2))=1/2*sqrt((x^2+y^2))=0 $
poi però rguardandolo penso di aver sbagliato perchè per poter svolgerlo con il limite notevole doveva essere al quadrato l'argomento del coseno, ovvero
$ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2 $
ai fini del risultato non dovrebbe cambiare nulla devo solo aggiungere 2xy sia al numeratore che denominatore e la parte finale verrebbe così no ?
$ lim_((x,y) -> (0,0)) [(1-cos(x+y))]/[(x^2+y^2)+2xy]*sqrt((x^2+y^2)) +2xy =1/2*sqrt((x^2+y^2))+2xy $
Risposte
Ma secondo te [tex]$a+b=a+b+c$[/tex] se $c\ne 0$?
no...in effetti quando si fa quel giochino si somma e si sottrae...è che non riesco a capire come procedere...
[tex]$\cos(x+y)\sim 1-\frac{(x+y)^2}{2}$[/tex] e poi fai un po' di conti...
scusa ma da dove hai ricavato questa relazione, perchè io avevo trovato che
$ cos(x+-y)=cosxcosy-+sinxsiny $
$ cos(x+-y)=cosxcosy-+sinxsiny $
Confronto asintotico? [tex]$\cos t\sim 1-\frac{t^2}{2}$[/tex]: non è che, solo perché fai Analisi II, ti dimentichi delle cose di base ed ovvie di Analisi I, sai? 
torna questo benedetto confronto asintotico... 
mi avevano già consigliato di usarlo in un altro caso...devo fare Taylor, vero ?
hai posto x+y=t e hai fatto il polinomio di cost e poi hai risostituito...
il polinomio è di 2° grado per un motivo, ad esempio con un altra funzione potrebbe essere di 3°... o è sempre di 2°
mi avevano già consigliato di usarlo in un altro caso...devo fare Taylor, vero ?
hai posto x+y=t e hai fatto il polinomio di cost e poi hai risostituito...
il polinomio è di 2° grado per un motivo, ad esempio con un altra funzione potrebbe essere di 3°... o è sempre di 2°
allora vediamo se così va bene
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (cos(x+y)-1)/sqrt((x^2+y^2)) $ sostituisco $ cos(x+y)=1-(x+y)^2/2 $ (confronto asintotico) e ottengo
$ lim_((x,y) -> (0,0)) -(x+y)^2/(2sqrt((x^2+y^2))) =-(x^2+y^2+2xy)/(2sqrt((x^2+y^2))) $
passo in coordinate polari
$ lim_(rho -> 0) -(rho^2cos^2theta+rho^2sen^2theta+2rhocosthetarhosentheta)/(2sqrt((rho^2cos^2theta+rho^2sen^2theta)))=-(rho^2(cos^2theta+sen^2theta+2costhetasentheta))/(2rho(sqrt((cos^2theta+sen^2theta))))= -(rho(cos^2theta+sen^2theta+2costhetasentheta))/(2(sqrt((cos^2theta+sen^2theta))))=0 $
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (cos(x+y)-1)/sqrt((x^2+y^2)) $ sostituisco $ cos(x+y)=1-(x+y)^2/2 $ (confronto asintotico) e ottengo
$ lim_((x,y) -> (0,0)) -(x+y)^2/(2sqrt((x^2+y^2))) =-(x^2+y^2+2xy)/(2sqrt((x^2+y^2))) $
passo in coordinate polari
$ lim_(rho -> 0) -(rho^2cos^2theta+rho^2sen^2theta+2rhocosthetarhosentheta)/(2sqrt((rho^2cos^2theta+rho^2sen^2theta)))=-(rho^2(cos^2theta+sen^2theta+2costhetasentheta))/(2rho(sqrt((cos^2theta+sen^2theta))))= -(rho(cos^2theta+sen^2theta+2costhetasentheta))/(2(sqrt((cos^2theta+sen^2theta))))=0 $
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