Limite 2

[hc11]

sapete dimostrare che:

lim(x->inf)[integrale tra 0 e x della funzione e^(-t^2) dt] = (sqrt(pi_greco))/2

grazie

[_Tipper]

L'integrale si può riscrivere come

$\int_{0}^{1} e^{-t^2} dt + \int_{1}^{+\infty} e^{-t^2} dt$

Il primo è un numero, perché l'integranda è continua e limitata in $\mathbb{R}$. Per $t > 1$ risulta $t > t^2$, ovvero $-t < -t^2$, cioè $e^{-t} < e^{-t^2}$. Dato che

$\int_{1}^{+\infty} e^{-t} dt$ converge (basta calcolarlo), allora converge anche $\int_{1}^{+\infty} e^{-t^2} dt$ per il criterio del contronto, quindi converge anche quello che hai scritto tu.

Per calcolarlo, basta chiamare

$k = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} dt$

allora

$k^2 = (\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx) (\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} dy) = \int \int_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2 + y^2)} dxdy$

dove all'ultimo passaggio si è sfruttato il teorema di Fubini. Passando in coordinate polari si ottiene

$\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{+\infty} \rho e^{-\rho^2} d\rho d \theta$

Si calcola e viene $\pi$. Se $k^2 = \pi$, allora $k = \sqrt{\pi}$ (si scarta la soluzione negativa perché l'integranda è sempre posivita).

Dunque $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} dt = \sqrt{\pi}$. Dato che $e^{-t^2}$ è pari allora

$\int_{-\infty}^{0} e^{-t^2} dt = \int_{0}^{+\infty} e^{-t^2} dt = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$

[hc11]

grazie ancora...sempre esauriente!

[_Tipper]

Prego.