Limite ((1+cosx)^(1/2))/(x-pi)
Ciao a tutti... ho un altro limite su cui mi sono arenato e per il quale avrei bisogno di una manina gentile. 
Ho provato con de l'Hôpital, con i cambiamenti di variabile e trasformazioni varie, ma non sono riuscito a calcolarlo.
Il testo dell'esercizio dice di risolvere eventualmente con de l'Hôpital ed effettivamente gli esercizi dello stesso insieme che ho risolto finora erano risolvibili applicando il teorema, ma con questo anche derivando non sono riuscito a calcolarlo.
In realtà il limite in questione non esiste (ho visto con Derive il grafico della funzione), però come lo giustifico su carta?
Ci dev'essere il modo di calcolare limite destro e sinistro...
[tex]$\lim_{x \to \pi}\frac{\sqrt{1+cos(x)}}{x-\pi}$[/tex]
Sicuramente è banale... è colpa mia che sono ancora un po' arrugginito.
Grazie mille in anticipo a chi vorrà aiutarmi!
Ho provato con de l'Hôpital, con i cambiamenti di variabile e trasformazioni varie, ma non sono riuscito a calcolarlo.
Il testo dell'esercizio dice di risolvere eventualmente con de l'Hôpital ed effettivamente gli esercizi dello stesso insieme che ho risolto finora erano risolvibili applicando il teorema, ma con questo anche derivando non sono riuscito a calcolarlo.
In realtà il limite in questione non esiste (ho visto con Derive il grafico della funzione), però come lo giustifico su carta?
Ci dev'essere il modo di calcolare limite destro e sinistro...
[tex]$\lim_{x \to \pi}\frac{\sqrt{1+cos(x)}}{x-\pi}$[/tex]
Sicuramente è banale... è colpa mia che sono ancora un po' arrugginito.
Grazie mille in anticipo a chi vorrà aiutarmi!
Risposte
Hai provato la sostituzione $y=x-pi$?
Così dovresti arrivare al risultato.
Dovrebbe venire che il limite sinistro tende a $-1/sqrt2$, quello destro a $1/sqrt2$.
Quindi effettivamente il limite non esiste
Così dovresti arrivare al risultato.
Dovrebbe venire che il limite sinistro tende a $-1/sqrt2$, quello destro a $1/sqrt2$.
Quindi effettivamente il limite non esiste
Viene $lim_(y->0) sqrt(1+cos(pi+y))/y= lim_(y->0) sqrt(1-cos(y))/y$
A questo punto succede questo: si sfrutta il limite notevole $lim_(alpha->0) (1-cosalpha)/alpha^2=1/2$
Il problema è che abbiamo una radice quadrata. Bisogna distinguere due casi, $0^+$ e $0^-$:
1) $lim_(y->0^+) sqrt(1-cos(y))/y= lim_(y->0^+) sqrt[(1-cos(y))/y^2]=sqrt(1/2)$
2) $lim_(y->0^-) sqrt(1-cos(y))/y= lim_(y->0^-)$ $-sqrt[(1-cos(y))/y^2]=-sqrt(1/2)$
Ok? Se hai dubbi chieid pure. Magari risponderò domani
A questo punto succede questo: si sfrutta il limite notevole $lim_(alpha->0) (1-cosalpha)/alpha^2=1/2$
Il problema è che abbiamo una radice quadrata. Bisogna distinguere due casi, $0^+$ e $0^-$:
1) $lim_(y->0^+) sqrt(1-cos(y))/y= lim_(y->0^+) sqrt[(1-cos(y))/y^2]=sqrt(1/2)$
2) $lim_(y->0^-) sqrt(1-cos(y))/y= lim_(y->0^-)$ $-sqrt[(1-cos(y))/y^2]=-sqrt(1/2)$
Ok? Se hai dubbi chieid pure. Magari risponderò domani
Grazie mille, ho capito!
In effetti avevo provato con quella sostituzione, ma mi mancava giusto l'ultimo passo.
In effetti avevo provato con quella sostituzione, ma mi mancava giusto l'ultimo passo.
Prego, figurati. In generale, conviene spesso (direi nove volte su dieci) portarsi ad avere, tramite sostituzione opportuna,
un "limite per qualcosa che tende a zero", perchè si possono sfruttare i tanti limiti notevoli
un "limite per qualcosa che tende a zero", perchè si possono sfruttare i tanti limiti notevoli
Infatti... è quello che ho notato anche io e che avevo tentato di fare... solo che non ero arrivato a pensare di portare sotto radice la y ed elevare al quadrato. 
Grazie ancora! Buona notte!
Grazie ancora! Buona notte!
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