Limite

[amalia.caggiano]

Buonasera a tutti, vorrei chiedervi se è corretto questo che vi scrivo su questo limite:
$$\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}$$
E' giusto concludere che il limite è $1$ perchè sia il numeratore che il denominatore sono infiniti di ordine $\frac{1}{2}$?

[pilloeffe]

Ciao amalia.caggiano,

"amalia.caggiano":E' giusto concludere che il limite è $1$

Sì, il risultato è quello.

"amalia.caggiano":perchè sia il numeratore che il denominatore sono infiniti di ordine $1/2 $

Per il numeratore è chiaro, per il denominatore andrebbe dimostrato...

[amalia.caggiano]

ok grazie mille della risposta...e come si procede? puoi darmi una mano?

[pilloeffe]

"amalia.caggiano":puoi darmi una mano?

Certamente. Non è difficile, prova a raccogliere $sqrt{x} $ a denominatore...

[gugo82]

[xdom="gugo82"]Inserire un titolo in maiuscolo è inutile: ti si aiuta anche se è scritto secondo le regole ortografiche normali.

Correggi, grazie.[/xdom]

[amalia.caggiano]

Scusami, ho cambiato.

[amalia.caggiano]

"pilloeffe":[quote="amalia.caggiano"]puoi darmi una mano?

Certamente. Non è difficile, prova a raccogliere $sqrt{x} $ a denominatore...[/quote]

Così?

$$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}=\sqrt{x+\sqrt{\sqrt{x}(\frac{x}{\sqrt{x}}+1)}}=\sqrt{x+{x}^{1/4}{x}^{1/4}}=\sqrt{x+\sqrt{x}}=\sqrt{\sqrt{x}(\frac{x}{\sqrt{x}}+1)}=x^{1/4}x^{1/4}=\sqrt{x}$$

[pilloeffe]

In realtà la mia idea era fare semplicemente così:

$ \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}= sqrt{x} \cdot \sqrt{1+\sqrt{x+\sqrt{x}}/x} = sqrt{x} \cdot \sqrt{1+\sqrt{1/x+1/(x\sqrt{x})}} $

Si vede subito che $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{1+\sqrt{1/x+1/(x\sqrt{x})}} = 1 $

[amalia.caggiano]

grazie mille...tutto molto chiaro!