Limite
Stavo cercando di calcolare questo limite $lim_(x->infty)((2*sqrt(x^2+x)-2x)^x)$
Ho provato a scriverlo in forma esponenziale raccogliere un due spezzare il logaritmo e razionalizzare ma non ne vengo a capo se potreste aiutarmi ve ne sarei grato il risulato dovrebbe essere : $e^(-1/4)$
Ho provato a scriverlo in forma esponenziale raccogliere un due spezzare il logaritmo e razionalizzare ma non ne vengo a capo se potreste aiutarmi ve ne sarei grato il risulato dovrebbe essere : $e^(-1/4)$
Risposte
Hai provato a "srazionalizzare" la base della potenza?
Si ho provato anche così e poi scritto in forma esponenziale ma non cambia nulla
Ascolta prima di tutto si annusa il tema, poi e' semplice.
Li vedi quei 2 be un senso li hanno.
Devi usare la relazione di asintotico.
Li vedi quei 2 be un senso li hanno.
Devi usare la relazione di asintotico.
Che stima asintotica potrei usare?
Dopo aver raccolto nella radice potresti usare lo sviluppo di Taylor di $[1+f(x)]^a$, se $f(x) \to 0$ per $x \to x_0$.
Inizia a raccogliere quel 2x poi cerca con Google.... e Zam.... Eureka 1/x tende a 0 e hai 1/nx
Purtroppo è una forma di indecisione, quindi devi usare Taylor
Purtroppo è una forma di indecisione, quindi devi usare Taylor
"paolo rossi":
Stavo cercando di calcolare questo limite $lim_(x->infty)((2*sqrt(x^2+x)-2x)^x)$
Ho provato a scriverlo in forma esponenziale raccogliere un due spezzare il logaritmo e razionalizzare ma non ne vengo a capo se potreste aiutarmi ve ne sarei grato il risulato dovrebbe essere : $e^(-1/4)$
Procedendo come suggerito, trovi:
\[
2\sqrt{x^2+x} - 2x = \frac{2x}{\sqrt{x^2+x} + x} = \frac{2x}{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x}} + x}\; ;
\]
se $x -> +oo$ (cosa che non si capisce dal tuo testo...) allora:
\[
2\sqrt{x^2+x} - 2x = \frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1} \to 1
\]
e risulta:
\[
\begin{split}
\left( 2\sqrt{x^2 + x } - 2x\right)^x &= \left( \frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1} \right)^x \\
&= \left( 1 + \frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1} -1 \right)^x \\
&= \Bigg( 1 + \underbrace{\frac{1 - \sqrt{1+\frac{1}{x}}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1}}_{=:\phi (x)} \Bigg)^x \\
&= \left[\left( 1 + \phi (x)\right)^{\frac{1}{\phi (x)}}\right]^{x \phi(x)}\; .
\end{split}
\]
Siccome il termine tra parentesi quadre tende ad $e$, basta calcolare coi limiti notevoli:
\[
\lim_{x\to + \infty} x\ \phi(x) = \lim_{x\to + \infty} x\ \frac{1 - \sqrt{1+\frac{1}{x}}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1} = \lim_{x\to +\infty} x\ \frac{-\frac{1}{2x} + \text{o}\left( \frac{1}{x} \right)}{2} = -\frac{1}{4}\; .
\]
Morale della favola: quando si prova a svolgere un limite non ci si ferma dopo i primi passaggi.
Ciao paolo rossi,
Inizialmente procederei come ti ha suggerito gugo82, poi è possibile risolverlo facendo uso dei limiti notevoli:
$ \lim_{x \to +infty} (2sqrt(x^2+x)-2x)^x = \lim_{x \to +infty} (2xsqrt(1+1/x)-2x)^x = \lim_{x \to +infty} (2\frac{sqrt(1+1/x)-1}{1/x})^x = $
$ = \lim_{x \to +infty} (\frac{2}{sqrt(1+1/x)+1})^x = \lim_{x \to +infty} (1 + 1/\frac{1 + sqrt(1+1/x)}{1 - sqrt(1+1/x)})^x = $
$ = \lim_{x \to +infty} [(1 + 1/\frac{1 + sqrt(1+1/x)}{1 - sqrt(1+1/x)})^{\frac{1 + sqrt(1+1/x)}{1 - sqrt(1+1/x)}}]^{- \frac{sqrt(1+1/x) - 1}{1/x(1 + sqrt(1+1/x))}} = $
$ = [e]^{\frac{-1/2}{2}} = e^{-1/4} = 1/root[4]{e} $
Inizialmente procederei come ti ha suggerito gugo82, poi è possibile risolverlo facendo uso dei limiti notevoli:
$ \lim_{x \to +infty} (2sqrt(x^2+x)-2x)^x = \lim_{x \to +infty} (2xsqrt(1+1/x)-2x)^x = \lim_{x \to +infty} (2\frac{sqrt(1+1/x)-1}{1/x})^x = $
$ = \lim_{x \to +infty} (\frac{2}{sqrt(1+1/x)+1})^x = \lim_{x \to +infty} (1 + 1/\frac{1 + sqrt(1+1/x)}{1 - sqrt(1+1/x)})^x = $
$ = \lim_{x \to +infty} [(1 + 1/\frac{1 + sqrt(1+1/x)}{1 - sqrt(1+1/x)})^{\frac{1 + sqrt(1+1/x)}{1 - sqrt(1+1/x)}}]^{- \frac{sqrt(1+1/x) - 1}{1/x(1 + sqrt(1+1/x))}} = $
$ = [e]^{\frac{-1/2}{2}} = e^{-1/4} = 1/root[4]{e} $
Grazie mille
In questo caso la razionalizzazione permette di trasformare la funzione iniziale in $2/(sqrt(1+1/x)+1)$ ed usando solamente lo sviluppo di taylor arrestato al primo termine cioe l 'asintotico si ottiene: $lim_(x->+infty)(2/(sqrt(1+1/x)+1))^x=lim(2/(1+1/(2x)+o(1/x)+1))^x=lim(2/(2+1/(2x)+o(1/x)))^x=lim1/((1/2)×(2+1/(2x)+o(1/x)))=lim(1/(1+1/(4x)))^x=lim1/(1+1/(4x))^x=1/e^(1/4)=1/(root(4)(e))$
Se si utilizza la forma iniziale si è costretti a sviluppare con Taylor sino al termine $o(1/x^2)$ per ottenendo ovviamente lo stesso valore.
Giusto?
Se si utilizza la forma iniziale si è costretti a sviluppare con Taylor sino al termine $o(1/x^2)$ per ottenendo ovviamente lo stesso valore.
Giusto?
Esatto, non serviva nemmeno razionalizzare
(1+(-1/(4x))) ^x
Ti evitati mille passaggi
Quella della razionalizzazione e' da tenere buona quando proprio non puoi fare altro
(1+(-1/(4x))) ^x
Ti evitati mille passaggi
Quella della razionalizzazione e' da tenere buona quando proprio non puoi fare altro
Ciao francicko,
Direi di no, se non altro perché il risultato dell'ultimo limite che hai scritto è $1/sqrt{e} $ e non $1/root[4]{e} $...
"francicko":
Giusto?
Direi di no, se non altro perché il risultato dell'ultimo limite che hai scritto è $1/sqrt{e} $ e non $1/root[4]{e} $...
Si i passaggi sono sbagliati, ma giusto non e' riferito a quelli
Ciao Antonio Mantovani,
... Che è proprio ciò che ho lasciato intendere...
E a che cosa, di grazia? Se è riferito alla possibilità di poter usare gli sviluppi in serie la domanda sarebbe pleonastica, perché conosco francicko abbastanza da sapere che gli è ben noto che se $x \to +infty \implies t := 1/x \to 0^+ $
"Antonio Mantovani":
Si i passaggi sono sbagliati
... Che è proprio ciò che ho lasciato intendere...
"Antonio Mantovani":
ma giusto non e' riferito a quelli
E a che cosa, di grazia? Se è riferito alla possibilità di poter usare gli sviluppi in serie la domanda sarebbe pleonastica, perché conosco francicko abbastanza da sapere che gli è ben noto che se $x \to +infty \implies t := 1/x \to 0^+ $
Be che poteva usare Taylor fino x^2 e otteneva lo stesso risultato, cosa che sarebbe stata molto meglio.
"Antonio Mantovani":
Be che poteva usare Taylor fino x^2 [...]
Casomai fino a $ x^{-2} = 1/x^2 $ ...
xpilloeffe.
Ho modificato il messaggio precedente ed il risultato adesso coincide, ma suppongo che il procedimento sia errato, potresti cortesemente darmi una delucidazione a riguardo?
Grazie!
Ho modificato il messaggio precedente ed il risultato adesso coincide, ma suppongo che il procedimento sia errato, potresti cortesemente darmi una delucidazione a riguardo?
Grazie!
Ciao francicko,
No, perché supponi sia errato? Adesso è corretto. Diciamo che io se avessi voluto applicare gli sviluppi in serie lo avrei fatto direttamente da qui:
$ \lim_{x \to +infty} (2\frac{sqrt(1+1/x)-1}{1/x})^x $
(terzo passaggio del mio post), senza necessità di "srazionalizzare" come dice gugo82...
"francicko":
[...] ma suppongo che il procedimento sia errato [...]
No, perché supponi sia errato? Adesso è corretto. Diciamo che io se avessi voluto applicare gli sviluppi in serie lo avrei fatto direttamente da qui:
$ \lim_{x \to +infty} (2\frac{sqrt(1+1/x)-1}{1/x})^x $
(terzo passaggio del mio post), senza necessità di "srazionalizzare" come dice gugo82...
D'accordo, ma se iniziavi ad usare gli sviluppi in serie prima della razionalizzazione, si è costretti al coinvolgimento del termine successivo a quello in $1/x$, cioe$1/x^2$,quindi non più asintotico, quello che mi sorprende un po e che la razionalizzazione permette di passare ad una forma equivalente in cui per la soluzione del limite diventa sufficiente asintotico.
"francicko":
D'accordo, ma se iniziavi ad usare gli sviluppi in serie prima della razionalizzazione, si è costretti al coinvolgimento del termine successivo a quello in $1/x $, cioè $1/x^2 $
Perdonami, ma qui non ho capito io... Perché? Trascurando l'$o$ avrei fatto così:
$\lim_{x \to +infty} (2\frac{sqrt(1+1/x)-1}{1/x})^x = \lim_{x \to +infty} (2(1/2 - \frac{1}{8x}))^x = \lim_{x \to +infty} (1 + \frac{-1/4}{x})^x = e^{-1/4} = 1/root[4]{e} $
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