Limite
dato il limite:
$ lim_(x -> 0) (tanx-x)/x^3 $
osservo che ho una forma indeterminata del tipo$ [0/0]$
applico Hopital
derivate:
tan(x) =1/cos^2(x)
x=1
x^3=3x^2 $ lim_(x -> 0) (1/(cos^2x)-1)/(3x^2)=[0/0] f.i $
applico nuovamente Hopital
$ lim_(x -> 0) (2tan(x)1/cos^2x-0)/(6x)= [0/0] f.i $
applico per la terza volta Hopital ed ottengo:
$ lim_(x -> 0) (2/cos^2x2tan(x)1/(cos^2x))/(6)= (2*0*1)/6 $
il risultato ottenuto non è coretto ma deve essere 1/3
mi date una mano a capire quale errore ho commesso?
Grazie a tutti per il vostro aiuto
$ lim_(x -> 0) (tanx-x)/x^3 $
osservo che ho una forma indeterminata del tipo$ [0/0]$
applico Hopital
derivate:
tan(x) =1/cos^2(x)
x=1
x^3=3x^2 $ lim_(x -> 0) (1/(cos^2x)-1)/(3x^2)=[0/0] f.i $
applico nuovamente Hopital
$ lim_(x -> 0) (2tan(x)1/cos^2x-0)/(6x)= [0/0] f.i $
applico per la terza volta Hopital ed ottengo:
$ lim_(x -> 0) (2/cos^2x2tan(x)1/(cos^2x))/(6)= (2*0*1)/6 $
il risultato ottenuto non è coretto ma deve essere 1/3
mi date una mano a capire quale errore ho commesso?
Grazie a tutti per il vostro aiuto
Risposte
Sbagli la derivata di $2 tan x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$, scrivi i passaggi della derivazione per favore?
$ 1 $ ciao Mephilip
ecco i passaggi:
dato$ 2tan(x)1/cos^2(x)$ ottengo:
$f(x)= 2/cos^2(x) $ perché$ tan(x)=1/cos^2(x)$
calcolo la derivata di $1/cos^2(x)$
f=1 derivata =0
g=$cos^2(x)$ derivata = $-2cosxsinx$
applico formula derivata del quoziente
$ (0*cos^2x-1(-2cosx*sinx))/cos^4x=(2cosxsinx)/cos^4x $ continuando in questo calcolo c'è qualcosa che non mi torna
Grazie!
ecco i passaggi:
dato$ 2tan(x)1/cos^2(x)$ ottengo:
$f(x)= 2/cos^2(x) $ perché$ tan(x)=1/cos^2(x)$
calcolo la derivata di $1/cos^2(x)$
f=1 derivata =0
g=$cos^2(x)$ derivata = $-2cosxsinx$
applico formula derivata del quoziente
$ (0*cos^2x-1(-2cosx*sinx))/cos^4x=(2cosxsinx)/cos^4x $ continuando in questo calcolo c'è qualcosa che non mi torna
Grazie!
Ciao cri98,
Se consideri che $d/(dx) (tan x) = tan^2 x + 1 $ con una sola applicazione della regola di de l'Hôpital ed un limite notevole arrivi subito al risultato che è $1/3 $
Se consideri che $d/(dx) (tan x) = tan^2 x + 1 $ con una sola applicazione della regola di de l'Hôpital ed un limite notevole arrivi subito al risultato che è $1/3 $
Non ho ben capito cosa tu abbia fatto 
sembra tu stia mischiando la regola di derivazione del prodotto e del quoziente, io userei direttamente quella del prodotto.
Posto $f(x)=2 \tan x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$, hai che
$$f'(x)=2 \left[ \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}+ \tan x \frac{-2 \sin x \cos x}{\cos^4 x} \right]=$$
Quindi hai che $f'(x) \to 2$ per $x \to 0$, perciò ti rimane $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
Altrimenti, con la regola di derivazione del quoziente, hai
$$f'(x)=2\frac{\frac{1}{\cos^2 x} \cdot \cos^2 x - \tan x \cdot (-2 \sin x \cos x)}{\cos^4 x}=2\frac{1+2 \tan x \sin x \cos x}{\cos^4 x}$$
E ovviamente, anche in questo caso $f'(x) \to 2$ per $x \to 0$
O ancora meglio, puoi usare il suggerimento di pilloeffe: decisamente più furbo!
sembra tu stia mischiando la regola di derivazione del prodotto e del quoziente, io userei direttamente quella del prodotto.Posto $f(x)=2 \tan x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$, hai che
$$f'(x)=2 \left[ \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}+ \tan x \frac{-2 \sin x \cos x}{\cos^4 x} \right]=$$
Quindi hai che $f'(x) \to 2$ per $x \to 0$, perciò ti rimane $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
Altrimenti, con la regola di derivazione del quoziente, hai
$$f'(x)=2\frac{\frac{1}{\cos^2 x} \cdot \cos^2 x - \tan x \cdot (-2 \sin x \cos x)}{\cos^4 x}=2\frac{1+2 \tan x \sin x \cos x}{\cos^4 x}$$
E ovviamente, anche in questo caso $f'(x) \to 2$ per $x \to 0$
O ancora meglio, puoi usare il suggerimento di pilloeffe: decisamente più furbo!
ciao Mephlip,
riguardando i calcoli e grazie al tuo aiuto ho capito dove stavo sbagliando.
Grazie per l'aiuto
riguardando i calcoli e grazie al tuo aiuto ho capito dove stavo sbagliando.
Grazie per l'aiuto
"Mephlip":
O ancora meglio, puoi usare il suggerimento di pilloeffe: decisamente più furbo!
Grazie Mephlip... Una riga di calcoli in tutto:
$ \lim_{x \to 0} (tanx-x)/x^3 \overset[H]{=} \lim_{x \to 0} (tan^2 x + 1 - 1)/(3x^2) = 1/3 \cdot \lim_{x \to 0} (tan^2 x)/x^2 = 1/3 \cdot 1 = 1/3 $
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