Limite
Ciao,ho problemi con questo limite $lim x->-infty log((e^(2x)+1)/(e^(2x)))/(x)$.Sostituendo semplicemnte meno infinito si rientra in una forma di indeterminazione $infty-infty$.Sugli appunti va avanti scrivendo che questo limite è uguale a$lim x->-infty log((e^(2x)+1)/(e^(2x)))+log(e^(2x))$.Non capisco però come ci arriva.Grazie.
Risposte
Ciao,
sarebbe
$lim_(x->-infty) (log((e^(2x)+1)/(e^2x)))/(x)$
oppure
$lim_(x->-infty) (log((e^(2x)+1)/(e^(2x))))/(x)$
?
sarebbe
$lim_(x->-infty) (log((e^(2x)+1)/(e^2x)))/(x)$
oppure
$lim_(x->-infty) (log((e^(2x)+1)/(e^(2x))))/(x)$
?
Scusa ho scritto male.Si tratta del secondo limite che hai scritto.
Ciao JackPirri,
Farei così:
$ \lim_{x \to -\infty} (log((e^(2x)+1)/(e^(2x))))/(x) = \lim_{x \to -\infty} log[e^{- 2x}(e^(2x)+1)]/(x) = \lim_{x \to -\infty} (log e^{- 2x} + log(e^{2x} + 1)]/(x) = $
$ = \lim_{x \to -\infty} (- 2x log e + log(e^{2x} + 1)]/(x) = - 2 + \lim_{x \to -\infty} (log(e^{2x} + 1))/(x) = - 2 + 0 = - 2 $
Farei così:
$ \lim_{x \to -\infty} (log((e^(2x)+1)/(e^(2x))))/(x) = \lim_{x \to -\infty} log[e^{- 2x}(e^(2x)+1)]/(x) = \lim_{x \to -\infty} (log e^{- 2x} + log(e^{2x} + 1)]/(x) = $
$ = \lim_{x \to -\infty} (- 2x log e + log(e^{2x} + 1)]/(x) = - 2 + \lim_{x \to -\infty} (log(e^{2x} + 1))/(x) = - 2 + 0 = - 2 $
Appunti presi da chi?
Ad ogni buon conto, trascurando termini d'ordine inferiore, per $x -> - oo$ hai:
\[
\log \left( \frac{e^{2x} + 1}{e^{2x}}\right) = \log \left( 1 + e^{-2x}\right) \approx \log e^{-2x} = -2x\; ,
\]
ed il limite si risolve subito.
Ad ogni buon conto, trascurando termini d'ordine inferiore, per $x -> - oo$ hai:
\[
\log \left( \frac{e^{2x} + 1}{e^{2x}}\right) = \log \left( 1 + e^{-2x}\right) \approx \log e^{-2x} = -2x\; ,
\]
ed il limite si risolve subito.
Essendo
$lim_(x->-infty) (log((e^(2x)+1)/(e^(2x))))/(x)=lim_(x->-infty) (log(1+1/e^2x))/x$
si nota che è della forma: $(+∞)/-∞=∞/∞$ e verifica le ipotesi.
Quindi puoi applicare De l'Hopital ottenendo:
$lim_(x->-infty) -2/(1 + e^(2 x))=-2$
$lim_(x->-infty) (log((e^(2x)+1)/(e^(2x))))/(x)=lim_(x->-infty) (log(1+1/e^2x))/x$
si nota che è della forma: $(+∞)/-∞=∞/∞$ e verifica le ipotesi.
Quindi puoi applicare De l'Hopital ottenendo:
$lim_(x->-infty) -2/(1 + e^(2 x))=-2$
@sgrisolo: Scusa, ma che vuoi fare con Taylor se $1/(e^(2x))$ non tende a zero?
Inoltre, scrivi bene la soluzione che così com'è ci sono errori.
Inoltre, scrivi bene la soluzione che così com'è ci sono errori.
@gugo
Argh! ho fatto un mischione tra +inf e - inf nel pensare a Taylor, ecco perché non riuscivo
[Tolgo]
Per errore intendevi il refuso a denominatore? Spero, non vedo altro..
--
Rimaneggiando questo esercizio, se tendesse a +inf e volessi usare Taylor come faresti?
Ho il problema che non trovo polinomi s eponessi $t=1/e^(2x)$
Anzi apro una nuova discussione che non voglio disturbare Jack
Argh! ho fatto un mischione tra +inf e - inf nel pensare a Taylor, ecco perché non riuscivo
[Tolgo]Per errore intendevi il refuso a denominatore? Spero, non vedo altro..
--
Rimaneggiando questo esercizio, se tendesse a +inf e volessi usare Taylor come faresti?
Ho il problema che non trovo polinomi s eponessi $t=1/e^(2x)$
Anzi apro una nuova discussione che non voglio disturbare Jack
Ringrazio tutti ma mi scuso perché ho scritto il limite sbagliato.Sto indagando circa l'esistenza di un asintoto obliquo e il limite relativo al coefficiente angolare (che è quello che ho scritto prima)l'ho già risolto con del'Hopital.Ho difficoltà con il limite impostato per calcolarmi q.Ovvero $lim x->-infty log((e^(2x)+1)/(e^(2x)))+2x$.
Mi sa che hai di nuovo sbagliato a scrivere, perché se il risultato del limite di prima è il valore di $m $, allora $f(x) = log(\frac{e^{2x} + 1}{e^{2x}}) $ e quindi si ha:
$q = \lim_{x \to -\infty} [log(\frac{e^{2x} + 1}{e^{2x}}) + 2x] = 0 $
$q = \lim_{x \to -\infty} [log(\frac{e^{2x} + 1}{e^{2x}}) + 2x] = 0 $
Sì ho sbagliato di nuovo. Ora ho corretto. Grazie per avermelo segnalato.
Se cerchi l’asintoto obliquo in $-oo$, questa approssimazione asintotica:
mostra che l’asintoto obliquo ha equazione $y=-2x$.
Infatti, dopotutto, dire che una funzione ha asintoto di equazione $y=m x+q$ significa che \(f(x) \approx m x + q\) per $x -> +- oo$.
"gugo82":
trascurando termini d'ordine inferiore, per $x -> - oo$ hai:
\[
\log \left( \frac{e^{2x} + 1}{e^{2x}}\right) = \log \left( 1 + e^{-2x}\right) \approx \log e^{-2x} = -2x\; ,
\]
mostra che l’asintoto obliquo ha equazione $y=-2x$.
Infatti, dopotutto, dire che una funzione ha asintoto di equazione $y=m x+q$ significa che \(f(x) \approx m x + q\) per $x -> +- oo$.
Grazie. Ma non devo trovare anche q?Cioè il termine noto dell'asintoto?Per farlo devo risolvere l'ultimo limite che ho scritto ma non so come procedere.Si va a finire infatti nella forma di indeterminazione $infty-infty$
"JackPirri":
Ma non devo trovare anche q?
Te l'ho scritto nel mio post precedente: $q = 0 $
Si vede facilmente applicando le proprietà dei logaritmi, ma se non lo vedi fammi sapere...
Ciao pilloeffe.
Alla fine rimango con $lim x->-infty log(e^(2x)+1)$.HO usato la proprietà dei logaritmi come mi hai suggerito così da semplificare ed eliminare $2x$.Ma ora come vado avanti?Sul risolutore parla di regola della catena, devo usare quella?Grazie tante.
Alla fine rimango con $lim x->-infty log(e^(2x)+1)$.HO usato la proprietà dei logaritmi come mi hai suggerito così da semplificare ed eliminare $2x$.Ma ora come vado avanti?Sul risolutore parla di regola della catena, devo usare quella?Grazie tante.
Stai annegando in un bicchier d'acqua:
$\lim_{x \to -\infty} log(1 + e^{2x}) = log(1 + 0) = log 1 = 0 $
Grazie mille
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