Limite

[Giuseppe8411]

Salve a tutti, sono nuovo in questo forum. Ho un forte dubbio sullo svolgimento del seguente limite:


lim per x che tende a zero di e^sinx - 1 il tutto fratto log(1+2sinx+sinx^2)

Spero possiate aiutarmi. Grazie in anticipo

[marcorossi94]

Se usi gli asintotici arrivi a qualcosa del tipo $frac{x}{2x+x^2}$

[pilloeffe]

Ciao Giuseppe8411,

Benvenuto sul forum!

Se ho ben capito il limite proposto è il seguente:

$\lim_{x \to 0} (e^sinx - 1)/(log(1 + 2sin x + sin^2 x)) = \lim_{x \to 0} (e^sinx - 1)/(sin x) \cdot (sin x)/(log(1 + sin x)^2) = $
$ = 1/2 \cdot \lim_{x \to 0} (e^sinx - 1)/(sin x) \cdot 1/(\frac{log(1 + sin x)}{sin x}) = 1/2 cdot 1 \cdot 1/1 = 1/2 $

Altrimenti l'altra possibilità è che sia:

$ \lim_{x \to 0} (e^sinx - 1)/(log(1 + 2sin x + sin x^2)) = \lim_{x \to 0} (e^sinx - 1)/(sin x) \cdot (sin x)/(log[(1 + 2sin x)(1 + sin x^2/(1 + 2 sin x))]) = $
$ = \lim_{x \to 0} (e^sinx - 1)/(sin x) \cdot (sin x)/(log(1 + 2sin x) + log(1 + sin x^2/(1 + 2 sin x))) = $
$ = \lim_{x \to 0} (e^sinx - 1)/(sin x) \cdot 1/(2 \cdot (log(1 + 2sin x))/(2sin x) + log(1 + sin x^2/(1 + 2 sin x))/(sin x^2/(1 + 2 sin x)) \cdot (sin x^2/(1 + 2 sin x))/(sin x)) = $
$ = 1 \cdot 1/(2 \cdot 1 + 1 \cdot 0) = 1/2 $

In ogni caso il risultato è $1/2 $...

[Giuseppe8411]

Grazie mille. Gentilissimi