Limite
Buongiorno a voi tutti! 
Ho un dubbio circa il seguente limte:
$ lim_(x -> -oo ) (e^x+1)*cosx $
Qui, essendo all'infinito non riesco a trovare aiuto dai limiti notevoli e so che il coseno di x all'infinito non è assolutamente 1...Quindi??? Qualcuno di voi potrebbe aiutarmi a risolvere l'arcano???
Vi ringrazio anticipatamente.
Ho un dubbio circa il seguente limte:
$ lim_(x -> -oo ) (e^x+1)*cosx $
Qui, essendo all'infinito non riesco a trovare aiuto dai limiti notevoli e so che il coseno di x all'infinito non è assolutamente 1...Quindi???
Qualcuno di voi potrebbe aiutarmi a risolvere l'arcano???Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Ciao Mirtillo_84,
Facciamo che non esiste...
Prova a ragionare sul perché.
Facciamo che non esiste...
Prova a ragionare sul perché.
Grazie per la gentile risposta, ma ci penso da giorni senza risultato...
Non esiste perchè è una quantita' limitata...quindi all'infinito posso non considerarla? Avessi una somma lo considererei come una costante additiva e lo trascurerei, ma poichè è un prodotto sono MOLTO perlessa!
Devo concludere che il limite non esiste?
Oppure?????
Non esiste perchè è una quantita' limitata...quindi all'infinito posso non considerarla? Avessi una somma lo considererei come una costante additiva e lo trascurerei, ma poichè è un prodotto sono MOLTO perlessa!
Devo concludere che il limite non esiste?
Oppure?????
Intuitivamente, puoi vedere come l'esponenziale contribuisce sempre meno e il coseno continua a oscillare tra -1 e 1 senza stabilizzarsi su un valore fissato, dunque il limite ha buone probabilità di non esistere.
Per dimostrarlo, potresti trovare due successioni \(\displaystyle \{x_n\} \) e \(\displaystyle \{x'_n\} \) tali che \(\displaystyle \lim _{n \to \infty} x_n=\lim _{n \to \infty} x'_n = -\infty \) e inoltre tali che \(\displaystyle \lim _{n\to \infty}(e^{x_n}+1)\cos (x_n) \neq \lim _{n\to \infty}(e^{x'_n}+1)\cos (x'_n) \).
Per dimostrarlo, potresti trovare due successioni \(\displaystyle \{x_n\} \) e \(\displaystyle \{x'_n\} \) tali che \(\displaystyle \lim _{n \to \infty} x_n=\lim _{n \to \infty} x'_n = -\infty \) e inoltre tali che \(\displaystyle \lim _{n\to \infty}(e^{x_n}+1)\cos (x_n) \neq \lim _{n\to \infty}(e^{x'_n}+1)\cos (x'_n) \).
Grazie, siete tutti davvero molto gentili!
Se invece avessimo avuto limx→−∞(e^x+1)+cosx
potevo eliminare il coseno e l'1 perchè costanti additive e quindi rimaneva solo il limite dell'esponenziale che dava 0 come risultato?
Se invece avessimo avuto limx→−∞(e^x+1)+cosx
potevo eliminare il coseno e l'1 perchè costanti additive e quindi rimaneva solo il limite dell'esponenziale che dava 0 come risultato?
Scritta così non avrebbe avuto senso, perché il coseno dipende dalla variabile che saturi con l'operazione di limite.
Se avessi avuto solo \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(e^x+1) \), allora sì, il risultato sarebbe stato 1.
Se avessi avuto solo \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(e^x+1) \), allora sì, il risultato sarebbe stato 1.
Ok grazie mille!
Forse voleva dire\[\lim_{x \to -\infty}(e^x+1+\cos x) \ \dots\]
Si bravissimo, volevo dire prorio questo!
In tal caso potevo non considerare +1 e cosx all'infinito?
Ps.un'ultima domanda, il primo limite che ho inserito non esisteva cmq, anche se al posto del coseno avessimo avuto il seno, vero?
In tal caso potevo non considerare +1 e cosx all'infinito?
Ps.un'ultima domanda, il primo limite che ho inserito non esisteva cmq, anche se al posto del coseno avessimo avuto il seno, vero?
Sono fuori al momento e non mi sembra il caso di camminare per strada scrivendo.
Facciamo che ti mostro come avrei agito io.
Supponiamo che ci sia un limite, che chiamiamo $\lambda$, di $f(x):=e^x+1+\cos x$ per $x \to -\infty$.[nota]Perché supponiamo? La speranza è ovviamente di incorerre in qualcosa di assurdo... speriamo... Se non si sa dove mettere le mani, certe volte funziona...[/nota] In tal caso il limite è anche unico. C'è un teorema, "teorema ponte" o qualcosa del genere, che dovresti conoscere e che ti dice in tal caso che per ogni successione $a : \mathbb{N} \mapsto \mathbb{R}$ divergente a $-\infty$ si ha \[f(a_n) \to \lambda \text{, per } n \to +\infty \ .\] Il che però si rivela ben presto falso. Prese, per esempio, le successioni $\{\frac{\pi}{2}-2n\pi\}_{n \in \mathbb{N}}$ e $\{-2n\pi\}_{n \in \mathbb{N}}$ divergenti negativamente si ha:
\begin{align*}
& f\Big(\frac{\pi}{2}-2n\pi\Big) \to 1 \\
& f(-2n\pi) \to 2
\end{align*}
per $n \to +\infty$. E incorriamo in uno (sperato) assurdo, in quanto $1 \ne 2$. Non ha senso supporre l'esistenza di un limite e quindi la cosa finisce qui.
Per quanto riguarda la seconda parte: facciamo anche che provi a riflettere prima di scrivere e rifai da capo.
Supponiamo che ci sia un limite, che chiamiamo $\lambda$, di $f(x):=e^x+1+\cos x$ per $x \to -\infty$.[nota]Perché supponiamo? La speranza è ovviamente di incorerre in qualcosa di assurdo
... speriamo... Se non si sa dove mettere le mani, certe volte funziona...[/nota] In tal caso il limite è anche unico. C'è un teorema, "teorema ponte" o qualcosa del genere, che dovresti conoscere e che ti dice in tal caso che per ogni successione $a : \mathbb{N} \mapsto \mathbb{R}$ divergente a $-\infty$ si ha \[f(a_n) \to \lambda \text{, per } n \to +\infty \ .\] Il che però si rivela ben presto falso. Prese, per esempio, le successioni $\{\frac{\pi}{2}-2n\pi\}_{n \in \mathbb{N}}$ e $\{-2n\pi\}_{n \in \mathbb{N}}$ divergenti negativamente si ha:\begin{align*}
& f\Big(\frac{\pi}{2}-2n\pi\Big) \to 1 \\
& f(-2n\pi) \to 2
\end{align*}
per $n \to +\infty$. E incorriamo in uno (sperato) assurdo, in quanto $1 \ne 2$. Non ha senso supporre l'esistenza di un limite e quindi la cosa finisce qui.
Per quanto riguarda la seconda parte: facciamo anche che provi a riflettere prima di scrivere e rifai da capo.
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