Limite

[JollyT]

Buona sera

Vorrei sapere in che modo risolvere il limite seguente:

lim(x->1) di (x^(p) - 1 / x^(q) - 1)

ma senza ricorrere al teorema di de l'Hopital, per il quale, derivando numeratore e denominatore si avrebbe:

= lim(x->1) di (px^(p-1) / qx^(q-1)) = p/q

Grazie in anticipo!

[anto_zoolander]

Ciao e benvenut*!
Considerando il limite notevole

$lim_(f(x)->0)((1+f(x))^(alpha)-1)/(f(x))=alpha$

Si ottiene

[size=90]

$lim_(x->1)(x^p-1)/(x^q-1)=lim_(x->1)[((1+(x-1))^p-1)/(x-1)]*lim_(x->1)[(x-1)/((1+(x-1))^q-1)]=p/q$

[/size]

[pilloeffe]

Ciao JollyT,

Benvenuto sul forum!

Se $p $ e $q $ sono numeri naturali è semplice, basta fare uso della ben nota identità seguente:

$x^n - 1 = (x - 1)(x^{n - 1} + x^{n - 2} + ... + x^2 + x + 1) = (x - 1) sum_{k = 0}^{n - 1} x^k $

Dunque:

$x^p - 1 = (x - 1)(x^{p - 1} + x^{p - 2} + ... + x^2 + x + 1) = (x - 1) sum_{k = 0}^{p - 1} x^k $

$x^q - 1 = (x - 1)(x^{q - 1} + x^{q - 2} + ... + x^2 + x + 1) = (x - 1) sum_{k = 0}^{q - 1} x^k $

Quindi si ha:

$ lim_{x \to 1} frac{x^p - 1}{x^q - 1} = lim_{x \to 1} frac{(x - 1) sum_{k = 0}^{p - 1} x^k}{(x - 1) sum_{k = 0}^{q - 1} x^k} = lim_{x \to 1} frac{sum_{k = 0}^{p - 1} x^k}{sum_{k = 0}^{q - 1} x^k} = $
[tex]= \frac{\overbrace{1 + 1 + 1 + \dots + 1}^{p\; volte}}{\underbrace{1 + 1 + 1 + \dots + 1}_{q\; volte}} = \frac{p}{q}[/tex]

Se invece $p$ e $q$ sono numeri reali, allora conviene porre $t := x - 1 $ e si ha:

$ lim_{x \to 1} frac{x^p - 1}{x^q - 1} = lim_{t \to 0} frac{(1 + t)^p - 1}{(1 + t)^q - 1} = lim_{t \to 0} frac{(1 + t)^p - 1}{t} \cdot frac{1}{frac{(1 + t)^q - 1}{t}} = frac{lim_{t \to 0} frac{(1 + t)^p - 1}{t}}{lim_{t \to 0} frac{(1 + t)^q - 1}{t} } = p/q $

[JollyT]

Grazie mille a entrambi per il benvenuto e per le risposte più che esaustive!

p.s. nell'esercizio in cui ho trovato questo limite non era specificato l'insieme di appartenenza di p e q, ma date le varie
tipologie di risoluzione che mi avete proposto, potrò scegliere la più appropriata al tipo di caso.

Grazie ancora e buona serata!