Limite

[Ianya]

Buongiorno
Sto trovando difficoltà con questo limite
$ lim_(x to +infty) x - (sin x) ^2 lnx$
Ho fatto vari tentativi ma non sono riuscita a risolverlo. Potreste aiutarmi? Grazie in anticipo

[mic999]

Io userei il teorema del confronto:
$|sinx| <=1 => 0<=(sinx)^2<=1$ da cui:

$lim_{x ->+ infty} x-0*ln(x)<= lim_{x ->+ infty} x-(sin(x))^2 ln(x) <=lim_{x -> +infty} x-1* ln(x)$

l'unico limite da risolvere in questo caso è $lim_{x ->+ infty} x-1* ln(x)$ che è una forma indeterminata e che puoi risolvere cosi:
$lim_{x ->+ infty} x-1* ln(x) =x(1- ln(x)/x) =....= +infty *1 =+infty$
dal confronto il limite della funzione di partenza vale $+infty$

[Ianya]

Grazie
E per quanto riguarda questo limite?
$lim_(x to 0) (e^(x^3-x^2/2)-cosx)/(x^3)$
Avevo pensato di sottrarre ed aggiungere 1 al numeratore per provare a ricondurmi ai limiti notevoli

[mic999]

Io moltiplicherei e dividerei per $x^3-x^2/2$
così ottieni limiti notevoli!

[Ianya]

Ho provato ma non mi trovo con il risultato

[mic999]

Cioè sai già il risultato del limite ma non te la cavi con la risoluzione?

[Ianya]

Deve uscire 1

[mic999]

Sottrai e sommi +1 prima e moltiplica e dividi per la quantità che ti ho scritto sopra.
Cosi facendo hai:

$lim_{x->0} {e^{x^3-x^2/2}-1-cosx+1}/x^3 * {x^3-x^2/2}/{x^3-x^2/2}=lim_{x->0} {e^{x^3-x^2/2}-1}/{x^3-x^2/2}* {x^3-x^2/2}/{x^3} - {cosx-1}/{x^3-x^2/2}* {x^3-x^2/2}/{x^3} $
a questo punto hai il limite notevole per x tendente a 0 di $ {e^{f(x)} - 1}/{f(x)}=1$ e lavori sul termine $lim_{x->0}{cosx-1}/{x^3-x^2/2} =lim_{x->0}{cosx-1}/{x^2 (x-1/2)} $ da cui riconosci il limite notevole...
a questo punto il limite, con raccoglimenti opportuni delle $x$ è $lim_{x->0} {x^2(x-1/2)}/{x^3} + 1/2 * {x^2(x-1/2)}/{(x-1/2)*x^3}$.. elidi i termini comuni e ti ritrovi un ${2x}/{2x}$ dunque limite=1