Limite

[Laura.appunti.2021]

Salve, ho un problema con il seguente limite:
$ lim_(n -> oo)(root(3)(n^7+n^3)*sin( 1/root(3)n)+cosn)/(n^2*ln(e^(n^2)-2)-n^4*e^(-2/n^2) $
Da qui con il contronto elimino alcuni termini e risulta:
$ lim_(n -> oo)(root(3)(n^7+n^3)*sin( 1/root(3)n))/(n^2*ln(e^(n^2)-2) $
Ora al numeratore:
$ lim_(n -> oo)[root(3)(n^7) * 1/root(3)n] /(n^2*ln(e^(n^2)-2)) $
Tuttavia il denominatore non riesco a ricondurlo a niente di noto....qualche suggerimento?
(Ho quel due che dovrebbe essere 1 ma non so come fare a trasformarlo). Grazie

[pilloeffe]

Ciao Dot.who,

Solo un suggerimento:

$ ln(e^{n^2} - 2) = ln(e^{n^2}(1 - frac{2}{e^{n^2}})) = ln e^{n^2} + ln (1 - frac{2}{e^{n^2}}) = n^2 + ln (1 - frac{2}{e^{n^2}}) $

[dissonance]

Hai eliminato troppi termini nel denominatore. Devi essere più preciso

[Laura.appunti.2021]

Ok, quindi dopo verrebbe: $ lim_(n -> oo) n^2/(n^2*(ln(e^(n^2))+ln(1-(2/(e^(n^2)))) $
$ lim_(n -> oo) (n^2)/((n^2)*[(n^2)-(2/(e^(n^2)))] $
Diventerebbe $ lim_(n -> oo) (1)/[(n^2)-(2/(e^(n^2)))] $
Però non riesco a ricondurlo a niente di noto...

[pilloeffe]

Attenzione, manca un pezzo a denominatore...

[Laura.appunti.2021]

Ma non si prende il valore che tende più velocemente a $ oo $ ??

[pilloeffe]

Dunque... Riprendiamo da qui:

$ lim_{n \to +\infty}(root(3)(n^7+n^3) sin(1/root(3)n))/(n^2 ln(e^(n^2)-2) - n^4 e^{- 2/n^2}) = lim_{n \to +\infty}root(3)frac{n^7+n^3}{n} frac{sin(1/root(3)n)}{1/root(3)n}/(n^2 ln(e^(n^2)-2) - n^4 e^{- 2/n^2}) = $
$ = lim_{n \to +\infty} frac{n^2 root(3){1 + 1/n^4}}{n^2[n^2 + ln(1 - frac{2}{e^{n^2}})] - n^4 e^{- 2/n^2}} = $
$ = lim_{n \to +\infty} frac{root(3){1 + 1/n^4}}{n^2 + ln(1 - frac{2}{e^{n^2}}) - n^2 e^{- 2/n^2}} = lim_{n \to +\infty} frac{root(3){1 + 1/n^4}}{n^2 - n^2 e^{- 2/n^2} + ln(1 - frac{2}{e^{n^2}})} = $
$ = lim_{n \to +\infty} frac{root(3){1 + 1/n^4}}{2 \cdot frac{e^{- 2/n^2} - 1}{-2/n^2} + ln(1 - frac{2}{e^{n^2}})} = frac{1}{2 cdot 1 + 0} = 1/2 $