Limite

[fabiett1]

Ciao a tutti, stavo ripassando un po' di Analisi e mi sono imbattuto in questo limite che mi sta dando qualche problemino:
$ lim_(x -> +oo ) x(e^((1+3x)/(1+x))-e^3) $
Potreste dirmi come si procede? Grazie in anticipo!

[pilloeffe]

Ciao fabiett,

Se puoi usare la regola di de l'Hopital, basta che lo scrivi nella forma seguente:

$lim_{x \to +\infty} x(e^((1+3x)/(1+x))-e^3) = lim_{x \to +\infty} frac{e^((1+3x)/(1+x))-e^3}{1/x} $

Altrimenti raccogli $e^3 $ e poi provi a ricondurti al limite notevole

$lim_{f(x) \to 0} frac{e^{f(x)} - 1}{f(x)} = 1 $

Procedendo nel secondo modo citato, si ha:

$ lim_{x \to +\infty} x(e^((1+3x)/(1+x))-e^3) = e^3 lim_{x \to +\infty} frac{e^((1+3x)/(1+x) - 3) - 1}{1/x} = e^3 lim_{x \to +\infty} frac{e^((-2)/(1+x)) - 1}{1/x} = $
$ = e^3 \cdot lim_{x \to +\infty} frac{e^((-2)/(1+x)) - 1}{(-2)/(1+x)} \cdot lim_{x \to +\infty} frac{(-2)/(1+x)}{1/x} = e^3 \cdot 1 \cdot (-2) = - 2e^3 $