Limite
Buongiorno raga, mi sono bloccato su di un esercizio di limite che non ho saputo svolgere:
$ lim_(x -> e) (logx-1)/(x-e) $
il limite deve essere risolto con tecniche elementari e non ad esempio con l'Hopital
ho pensato dunque di usare i limiti notevoli. effettuando un cambio variabile del tipo y=x-e ottengo y->0 e x=e+y
$ lim_(y -> 0) (log(e+y)-1)/y $
ed a questo punto mi sono bloccato causa quel -1;
l'esempio del libro, ha fatto i medesimi miei passaggi continuando poi così:
$ lim_(y-> 0) (loge(1+y/e)-1)/y= $ e ci siamo ha semplicemente raccolto e nel log
$ lim_(y-> 0) (log(1+y/e))/y=1/e $
ecco dal passaggio precedente a questo non ho proprio capito, mi riuscite a spiegare come ha fatto ad elidere il -1??
Grazie mille in anticipo.
$ lim_(x -> e) (logx-1)/(x-e) $
il limite deve essere risolto con tecniche elementari e non ad esempio con l'Hopital
ho pensato dunque di usare i limiti notevoli. effettuando un cambio variabile del tipo y=x-e ottengo y->0 e x=e+y
$ lim_(y -> 0) (log(e+y)-1)/y $
ed a questo punto mi sono bloccato causa quel -1;
l'esempio del libro, ha fatto i medesimi miei passaggi continuando poi così:
$ lim_(y-> 0) (loge(1+y/e)-1)/y= $ e ci siamo ha semplicemente raccolto e nel log
$ lim_(y-> 0) (log(1+y/e))/y=1/e $
ecco dal passaggio precedente a questo non ho proprio capito, mi riuscite a spiegare come ha fatto ad elidere il -1??
Grazie mille in anticipo.
Risposte
$ lim_(y-> 0) (loge(1+y/e)-log e)/y=lim_(y-> 0) (log[(e(1+y/e))/e])/y= lim_(y-> 0) (log(1+y/e))/y= lim_(y-> 0) (log(1+y/e))/(y/e*e)= lim_(y-> 0) (log(1+y/e))/(y/e)*1/e$
Ciao Leibnitz,
Per una ben nota proprietà dei logaritmi che dice che il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi, si ha:
$lim_{y \to 0} (log [e(1+y/e)] - 1)/y = lim_{y \to 0} frac{log e + log(1+y/e) - 1}{y} = lim_{y \to 0} frac{1 + log(1+y/e) - 1}{y} = $
$ = lim_{y \to 0} frac{log(1+y/e)}{y} = frac{1}{e} lim_{y \to 0} frac{log(1+y/e)} {y/e} = frac{1}{e} \cdot 1 = frac{1}{e} $
che ti porta poi naturalmente allo stesso risultato del metodo di axpgn.
Per una ben nota proprietà dei logaritmi che dice che il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi, si ha:
$lim_{y \to 0} (log [e(1+y/e)] - 1)/y = lim_{y \to 0} frac{log e + log(1+y/e) - 1}{y} = lim_{y \to 0} frac{1 + log(1+y/e) - 1}{y} = $
$ = lim_{y \to 0} frac{log(1+y/e)}{y} = frac{1}{e} lim_{y \to 0} frac{log(1+y/e)} {y/e} = frac{1}{e} \cdot 1 = frac{1}{e} $
che ti porta poi naturalmente allo stesso risultato del metodo di axpgn.
Ragazzi grazie per la risposta,
comunque non capisco il vostro ragionamento, entrambi avete sostituito il -1 uno così: 1=log(e)
Ma io so che l'uguaglianza è errata, o meglio è corretta solo se il logaritmo è in base e ovvero: Ln(e)=1
ma a questo punto non posso più semplificare...
c'è qualcosa che mi sfugge o non so?
comunque non capisco il vostro ragionamento, entrambi avete sostituito il -1 uno così: 1=log(e)
Ma io so che l'uguaglianza è errata, o meglio è corretta solo se il logaritmo è in base e ovvero: Ln(e)=1
ma a questo punto non posso più semplificare...
c'è qualcosa che mi sfugge o non so?
Fai questa osservazione:
$$ \left.\frac{\mathrm df}{\mathrm dx} \right|_{x=e} \triangleq \lim_{x\to e}\frac{f(x)-f(e)}{x-e} $$
Chi è $f$ nel tuo caso, e quindi, $f'(e)$? Da lì il limite è immediato.
Il logaritmo naturale è più propriamente indicato con $\log$. $\text{ln}$ è più una cosa scolastica, a mio avviso.
$$ \left.\frac{\mathrm df}{\mathrm dx} \right|_{x=e} \triangleq \lim_{x\to e}\frac{f(x)-f(e)}{x-e} $$
Chi è $f$ nel tuo caso, e quindi, $f'(e)$? Da lì il limite è immediato.
"Leibnitz":
Ragazzi grazie per la risposta,
comunque non capisco il vostro ragionamento, entrambi avete sostituito il -1 uno così: $1=\log(e)$
Ma io so che l'uguaglianza è errata, o meglio è corretta solo se il logaritmo è in base e ovvero: $Ln(e)=1$
ma a questo punto non posso più semplificare...
c'è qualcosa che mi sfugge o non so?
Il logaritmo naturale è più propriamente indicato con $\log$. $\text{ln}$ è più una cosa scolastica, a mio avviso.
Ciao edmz,
Permettimi di dissentire... Personalmente preferisco proprio la notazione $ln x $, logaritmo naturale di x, per la semplice ragione che non dà adito a dubbi:
$\ln x = log_e x $
Invece, come hai potuto vedere, la notazione $log x $ può dar luogo ad errate interpretazioni, che però nel caso in esame sono presto fugate Leibnitz, perché se non si fosse trattato di $log_e x$, come tutti coloro che ti hanno risposto hanno correttamente interpretato, non vi sarebbe stata la forma di indeterminazione iniziale $ frac{0}{0}$ alla quale tu stesso hai alluso parlando della soluzione con de l'Hopital:
"edmz":
Il logaritmo naturale è più propriamente indicato con $log$. $ln$ è più una cosa scolastica, a mio avviso.
Permettimi di dissentire... Personalmente preferisco proprio la notazione $ln x $, logaritmo naturale di x, per la semplice ragione che non dà adito a dubbi:
$\ln x = log_e x $
Invece, come hai potuto vedere, la notazione $log x $ può dar luogo ad errate interpretazioni, che però nel caso in esame sono presto fugate Leibnitz, perché se non si fosse trattato di $log_e x$, come tutti coloro che ti hanno risposto hanno correttamente interpretato, non vi sarebbe stata la forma di indeterminazione iniziale $ frac{0}{0}$ alla quale tu stesso hai alluso parlando della soluzione con de l'Hopital:
"Leibnitz":
il limite deve essere risolto con tecniche elementari e non ad esempio con l'Hopital
"pilloeffe":
Ciao edmz,
[quote="edmz"]Il logaritmo naturale è più propriamente indicato con $ log $. $ ln $ è più una cosa scolastica, a mio avviso.
Permettimi di dissentire... Personalmente preferisco proprio la notazione $ ln x $, logaritmo naturale di x, per la semplice ragione che non dà adito a dubbi:
$ \ln x = log_e x $
[/quote]
Liberissimo di farlo, se siamo su un forum è proprio per esprimere i propri pensieri.
Io preferisco la prima notazione, come ancora oltre preferisco \(\displaystyle \frac{\mathrm dx(t)}{\mathrm dt} \) a $\dotx$; altri preferiscono $\exp(x)$ a $e^x$. Io per $\log(x)$ intendo $\ln(x)$, cioè $\int_1^x\frac{dx}{x} := \log(x)$.
"pilloeffe":[/quote]
Invece, come hai potuto vedere, la notazione $ log x $ può dar luogo ad errate interpretazioni, che però nel caso in esame sono presto fugate Leibnitz, perché se non si fosse trattato di $ log_e x $, come tutti coloro che ti hanno risposto hanno correttamente interpretato, non vi sarebbe stata la forma di indeterminazione iniziale $ frac{0}{0} $ alla quale tu stesso hai alluso parlando della soluzione con de l'Hopital:
[quote="Leibnitz"]il limite deve essere risolto con tecniche elementari e non ad esempio con l'Hopital
Per il resto non sono d'accordo, anzi devo correggerti: non ho fatto alcun riferimento al teorema di De L'Hopital. Quanto ho scritto è una tecnica elementare, proveniente, mi auguro tu sappia, dalla puramente geometrica costruzione di quella funzione chiamata derivata; di nuovo,
$$ \log(e)' \stackrel{\text{def}}= \lim_{x\to e} \frac{\log(x)-\log(e)}{x-e}$$
Comunque, per tornare OT, @Leibnitz hai altri dubbi?
Ciao edmz,
Hai equivocato, quella parte del discorso non era rivolta a te, ma a Leibnitz: pensavo si fosse capito. D'altronde, ho anche citato le sue parole:
La tua soluzione è corretta, come d'altronde anche quella di axpgn...
Quanto alle notazioni ognuno ha le sue preferenza e si sa che De gustibus non est disputandum...
Hai equivocato, quella parte del discorso non era rivolta a te, ma a Leibnitz: pensavo si fosse capito. D'altronde, ho anche citato le sue parole:
"Leibnitz":
il limite deve essere risolto con tecniche elementari e non ad esempio con l'Hopital
La tua soluzione è corretta, come d'altronde anche quella di axpgn...
Quanto alle notazioni ognuno ha le sue preferenza e si sa che De gustibus non est disputandum...
Non ho altri dubbi,
il problema di fondo è che mi sono impuntato su quella distinzione di notazioni che il libro come la mia prof di analisi fanno e non ho ragionato sul fatto che (grazie edmz per avermelo fatto notare) il comportamento al limite è uguale.
Grazie a tutti.
il problema di fondo è che mi sono impuntato su quella distinzione di notazioni che il libro come la mia prof di analisi fanno e non ho ragionato sul fatto che (grazie edmz per avermelo fatto notare) il comportamento al limite è uguale.
Grazie a tutti.
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