Limite....!

[nerone801]

Ciao ragazzi sono nuovamente qui a proporvi un limite...


$lim_(x \to \- 0^+)(log(x+sinx))/log(x*arctgx)$

Il mio ragionamento mi porta a scrivere:



$lim_(x \to \- 0^+)(log(x+sinx))/log(x*arctgx)$ = $lim_(x \to \- 0^+)(logx*(1+sinx/x))/log(x*arctgx)$ =
$lim_(x \to \- 0^+)(logx +log2-logx-logarctgx)$=$lim_(x \to \- 0^+)(log2-logarctgx)$= $log2$
il risultato dovrebbe essere 1/2, autatemi vi prego!
Dove sbaglio?

[otta96]

Non è mica vero che $1/logx=-logx$, riflettici meglio...

[nerone801]

Ma io a questo passaggio

$lim_(x \to \- 0^+)(logx +log2-logx-logarctgx)$

non ci sono arrivato ponendo $1/logx=-logx$ ma facendo

$lim_(x \to \- 0^+)(logx +log2)/(logx+logarctgx)$=$lim_(x \to \- 0^+)(logx +log2)-(logx+logarctgx)$,
onestamente non saprei

[pilloeffe]

Ciao nerone80,

Applicando la regola di de l'Hopital si trova proprio $frac{1}{2}$.

[otta96]

"nerone80":$lim_(x \to \- 0^+)(logx +log2)/(logx+logarctgx)$=$lim_(x \to \- 0^+)(logx +log2)-(logx+logarctgx)$

Ma come mai il denominatore poi lo sottrai?

[zerocool94]

Passavo di qui per caso e ho provato a risolverlo, potrebbe essere questa una risoluzione senza utilizzare de l'Hopital?

[francicko]

Non necessita Hopital, sono sufficienti gli asintotici $sinx~~x $, inoltre $arctanx~~x $ sostituendo si ha:
$lim_(x->0^+)log (x+x)/log(x×x) $ $=lim (2x)/logx^2$ applicando le proprietà sui logaritmi diventa
$lim (log2+logx)/(2logx) $ ovviamente a numeratore prevale l'infinito $logx $, pertanto avremo banalmente $lim logx/(2logx)=1/2$.

[nerone801]

Grazie a tutti!In buona sostanza il criterio asintotico viene sempre in aiuto!