Limite

[angelox9]

Salve a tutti, ho il seguente limite:

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left(tan \sqrt[5]{x}\right)^{sin\left(4x\right)}
\)
Pensavo di risolvere il limite in questo modo, volevo sapere se sto procedendo nella maniera corretta.

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} e^{ln \left(tan \sqrt[5]{x}\right)^{sin\left(4x\right)}}= \)

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} e^{sin\left(4x\right)\left[ln \left(tan \sqrt[5]{x}\right)\right]}= \)

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} e^{\frac{ln \left(tan \sqrt[5]{x}\right)}{\frac{1}{sin\left(4x\right)}}} \)

Poi non so andare avanti.

Oppure pensavo di scrivere la \(\displaystyle tan (k) \) come \(\displaystyle sin (k)/cos (k) \).

[francicko]

Devi usare il limite notevole del tipo $lim_(f (x)->0)sin(f (x))/(f (x))=1$, e $lim_(f (x)->0)tan (f (x))/(f (x))=1$ quindi:risolvendo il limite ad esponente abbiamo
$lim_(x->0)sin (4x)logtanroot(5)(x) $ $=lim_(x->0)4xsin(4x)/(4x)×log(root (5)(x)tanroot(5)(x)/root(5)(x)) $ essendo che $sin (4x)/(4x)->1$, ed $tanroot(5)(x)/root (5)(x)->1$, possiamo riscrivere il nostro limite come $lim_(x->0)4xlog(x)^(1/5) $ $=lim_(x->0)4/5xlogx$, $=4/5lim_(x->0)xlogx $ $=4/5lim_(x->0)logx/(1/x) $ , forma indeterminata $-infty/infty $ applicando Hopital si ha $4/5lim_(x->0)(1/x)/(-1/x^2) $ $=4/5lim_(x->0)(-x^2/x)=0$, sostituendo alla forma iniziale si ha $e^0=1$ che è il risultato esatto.