Limite
Salve a tutti, ho il seguente limite:
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{3^{x^2}+1}{4x^3+2}\right)^{\frac{3x+2}{x^2}} \)
Pensavo di risolvere il limite in questo modo, volevo sapere se sto procedendo nella maniera corretta.
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left(1+\frac{3^{x^2}+1}{4x^3+2}-1\right)^{\frac{3x+2}{x^2}} \)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left(1+\frac{3^{x^2}+1-4x^3-2}{4x^3+2}\right)^{\frac{3x+2}{x^2}} \)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left(1+\frac{3^{x^2}-4x^3-1}{4x^3+2}\right)^{\frac{3x+2}{x^2}} \)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left(1+\frac{1}{\frac{4x^3+2}{3^{x^2}-4x^3-1}}\right)^{\frac{3x+2}{x^2}} \)
Qui applico il limite notevole di nepero, sto procedendo nel modo sbagliato?
Se continuo in questo modo, ho qualche difficoltà.
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{3^{x^2}+1}{4x^3+2}\right)^{\frac{3x+2}{x^2}} \)
Pensavo di risolvere il limite in questo modo, volevo sapere se sto procedendo nella maniera corretta.
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left(1+\frac{3^{x^2}+1}{4x^3+2}-1\right)^{\frac{3x+2}{x^2}} \)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left(1+\frac{3^{x^2}+1-4x^3-2}{4x^3+2}\right)^{\frac{3x+2}{x^2}} \)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left(1+\frac{3^{x^2}-4x^3-1}{4x^3+2}\right)^{\frac{3x+2}{x^2}} \)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left(1+\frac{1}{\frac{4x^3+2}{3^{x^2}-4x^3-1}}\right)^{\frac{3x+2}{x^2}} \)
Qui applico il limite notevole di nepero, sto procedendo nel modo sbagliato?
Se continuo in questo modo, ho qualche difficoltà.
Risposte
$lim xto0 ((alpha^x-1)/x) = logalpha$
Credo sia giusto, si tratta di una forma indeterminata $1^infty $, comunque puoi scriverlo nella forma esponenziale $e^(log f (x)^(g (x)) $e quindi risolvere il limite $lim_(x->0)g (x)logf (x) $
@Anacleto13: Non ho capito bene.
@francicko:
Dovrei ottenere lo stesso risultato.
Il problema è da qui in poi, considerando sia giusto il mio passaggio.
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left(1+\frac{1}{\frac{4x^3+2}{3^{x^2}-4x^3-1}}\right)^{\frac{3x+2}{x^2}}
\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left[\left(1+\frac{1}{\frac{4x^3+2}{3^{x^2}-4x^3-1}}\right)^\frac{4x^3+2}{3^{x^2}-4x^3-1}\right]^{\frac{3x+2}{x^2}\frac{3^{x^2}-4x^3-1}{4x^3+2}} \)
Quello interno fa:
\(\displaystyle e^{\frac{3x+2}{x^2}\frac{3^{x^2}-4x^3-1}{4x^3+2}} \)
Giusto?
Non riesco a risolvere l'elevamento a potenza di "e": \(\displaystyle {\frac{3x+2}{x^2}\frac{3^{x^2}-4x^3-1}{4x^3+2}} \)
Consigli?
@francicko:
"francicko":
Credo sia giusto, si tratta di una forma indeterminata $ 1^infty $, comunque puoi scriverlo nella forma esponenziale $ e^(log f (x)^(g (x)) $e quindi risolvere il limite $ lim_(x->0)g (x)logf (x) $
Dovrei ottenere lo stesso risultato.
Il problema è da qui in poi, considerando sia giusto il mio passaggio.
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left(1+\frac{1}{\frac{4x^3+2}{3^{x^2}-4x^3-1}}\right)^{\frac{3x+2}{x^2}}
\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left[\left(1+\frac{1}{\frac{4x^3+2}{3^{x^2}-4x^3-1}}\right)^\frac{4x^3+2}{3^{x^2}-4x^3-1}\right]^{\frac{3x+2}{x^2}\frac{3^{x^2}-4x^3-1}{4x^3+2}} \)
Quello interno fa:
\(\displaystyle e^{\frac{3x+2}{x^2}\frac{3^{x^2}-4x^3-1}{4x^3+2}} \)
Giusto?
Non riesco a risolvere l'elevamento a potenza di "e": \(\displaystyle {\frac{3x+2}{x^2}\frac{3^{x^2}-4x^3-1}{4x^3+2}} \)
Consigli?
E' un limite notevole che potresti applicare, $alpha$ è una costante, in questo caso è il 3;
Ho capito, ma non riesco ad andare avanti.
Poi il limite notevole che suggerisci tu, non dovrebbe essere con -1 al numeratore?
Suggerimenti?
Poi il limite notevole che suggerisci tu, non dovrebbe essere con -1 al numeratore?
Suggerimenti?
Hai ragione, dovrei controllare prima di scrivere 
Non preoccuparti.
Sai come risolvere questo limite:
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} {\frac{3x+2}{x^2}\frac{3^{x^2}-4x^3-1}{4x^3+2}} \)
Sai come risolvere questo limite:
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} {\frac{3x+2}{x^2}\frac{3^{x^2}-4x^3-1}{4x^3+2}} \)
$lim_(x->0)((3x+2)/x^2)log (1+(3^(x^2)-4x^3-1)/(4x^3+2)) $ $=lim_(x->0)(2/x^2)log (1+(3^(x^2)-1)/2) $, essendo che $lim_(x->0)(3^(x^2)-1)/x^2=log3$, si può sostituire la quantità asintotica
$x^2log3$, il limite diventa $lim_(x->0)(-2/x^2)log(1+x^2/2log3) $, applicando ancora un noto limite notevole si arriva ad $lim_(x->0)(2/x^2)(x^2/2log3) $, se svolgi bene i calcoli vedrai che avrai come risultato finale $3$.
Infatti $lim_(x->0)((3x+2)/x^2)(3^(x^2)-4x^3-1)/(4x^3+2) $ $=lim_(x->0)2/x^2×(3^(x^2)-1)/2$ $=lim_(x->0)(3^(x^2)-1)/x^2=log3$
$x^2log3$, il limite diventa $lim_(x->0)(-2/x^2)log(1+x^2/2log3) $, applicando ancora un noto limite notevole si arriva ad $lim_(x->0)(2/x^2)(x^2/2log3) $, se svolgi bene i calcoli vedrai che avrai come risultato finale $3$.
Infatti $lim_(x->0)((3x+2)/x^2)(3^(x^2)-4x^3-1)/(4x^3+2) $ $=lim_(x->0)2/x^2×(3^(x^2)-1)/2$ $=lim_(x->0)(3^(x^2)-1)/x^2=log3$
@francicko:
Da qui:
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} {\frac{3x+2}{x^2}\frac{3^{x^2}-4x^3-1}{4x^3+2}}
\)
A qui:
$ lim_(x->0)((3x+2)/x^2)log (1+(3^(x^2)-4x^3-2)/(4x^3+2)) $
Da dove esce il logaritmo?
Qui:
$ lim_(x->0)(2/x^2)log (1+(3^(x^2)-1)/2) $
Non dovrebbe essere:
$ lim_(x->0)(3/x+2/x^2)log (1+(3^(x^2)-1)/2) $
Poi perché $ (-2/x^2) $, da dove esce il meno?
$ lim_(x->0)(-2/x^2)log(1+x^2/2log3) $
Perdonami, ma non ho capito molto bene i passaggi.
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{3x+2}{x^2}\frac{3^{x^2}-4x^3-1}{4x^3+2}}=
\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{(3x+2)(3^{x^2}-4x^3-1)}{x^2(4x^3+2)}}=
\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{(3x+2)(3^{x^2}-4x^3-1)}{2x^2(2x^3+1)}}=
\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{(3x+2)(3^{x^2}-1-4x^3)}{2x^2(2x^3+1)}}=
\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{(3x+2)(\frac{3^{x^2}-1}{x^2}x^2-4x^3)}{2x^2(2x^3+1)}}=
\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{2(\frac{3}{2}x+1)(\frac{3^{x^2}-1}{x^2}x^2-4x^3)}{2x^2(2x^3+1)}}=
\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{(\frac{3}{2}x+1)(\frac{3^{x^2}-1}{x^2}x^2-4x^3)}{x^2(2x^3+1)}}=
\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{(\frac{3}{2}x+1)x^2\left(\frac{3^{x^2}-1}{x^2}-4x\right)}{x^2(2x^3+1)}}=
\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{(\frac{3}{2}x+1)\left(\frac{3^{x^2}-1}{x^2}-4x\right)}{(2x^3+1)}}=log 3 \)
\(\displaystyle e^{ln3}=3 \)
Ho fatto bene?
Da qui:
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} {\frac{3x+2}{x^2}\frac{3^{x^2}-4x^3-1}{4x^3+2}}
\)
A qui:
$ lim_(x->0)((3x+2)/x^2)log (1+(3^(x^2)-4x^3-2)/(4x^3+2)) $
Da dove esce il logaritmo?
Qui:
$ lim_(x->0)(2/x^2)log (1+(3^(x^2)-1)/2) $
Non dovrebbe essere:
$ lim_(x->0)(3/x+2/x^2)log (1+(3^(x^2)-1)/2) $
Poi perché $ (-2/x^2) $, da dove esce il meno?
$ lim_(x->0)(-2/x^2)log(1+x^2/2log3) $
Perdonami, ma non ho capito molto bene i passaggi.
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{3x+2}{x^2}\frac{3^{x^2}-4x^3-1}{4x^3+2}}=
\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{(3x+2)(3^{x^2}-4x^3-1)}{x^2(4x^3+2)}}=
\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{(3x+2)(3^{x^2}-4x^3-1)}{2x^2(2x^3+1)}}=
\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{(3x+2)(3^{x^2}-1-4x^3)}{2x^2(2x^3+1)}}=
\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{(3x+2)(\frac{3^{x^2}-1}{x^2}x^2-4x^3)}{2x^2(2x^3+1)}}=
\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{2(\frac{3}{2}x+1)(\frac{3^{x^2}-1}{x^2}x^2-4x^3)}{2x^2(2x^3+1)}}=
\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{(\frac{3}{2}x+1)(\frac{3^{x^2}-1}{x^2}x^2-4x^3)}{x^2(2x^3+1)}}=
\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{(\frac{3}{2}x+1)x^2\left(\frac{3^{x^2}-1}{x^2}-4x\right)}{x^2(2x^3+1)}}=
\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{(\frac{3}{2}x+1)\left(\frac{3^{x^2}-1}{x^2}-4x\right)}{(2x^3+1)}}=log 3 \)
\(\displaystyle e^{ln3}=3 \)
Ho fatto bene?
Scusa ho sbagliato a scrivere il meno, cerco di spiegarmi meglio:
Ritorniamo al metodo che tu hai proposto all'inizio , che è corretto, da li si arriva ad $lim_(x->0)e^((3x+2)/x^2(3^(x^2)-4x^3-1)/(4x^3+2)) $, quindi adesso basta risolvere il limite ad esponente $lim_(x->0)(3x+2)/x^2(3^(x^2)-4x^3-1)/(4x^3+2) $ essendo $3x $ , $-4x^3$, $4x^3$ , delle quantità tendenti a zero piu velocemente degli altri termini nelle rispettive somme, possiamo trascurarle, quindi ometterle, il limite diventa pertanto $lim_(x->0)2/x^2×(3^(x^2)-1)/2$ $=lim_(x->0)2/2×(3^(x^2)-1)/x^2$ $=lim_(x->0 )(3 ^(x^2)-1)/x^2$ limite notevole del tipo $lim_(f (x)->0) (a^(f (x))-1)/f (x)=loga $, pertanto nel nostro caso avremo come valore $log3$, giusto?
Adesso sostituendo al limite della forma $e^(f (x))$avremo $e^log3=3$
Ritorniamo al metodo che tu hai proposto all'inizio , che è corretto, da li si arriva ad $lim_(x->0)e^((3x+2)/x^2(3^(x^2)-4x^3-1)/(4x^3+2)) $, quindi adesso basta risolvere il limite ad esponente $lim_(x->0)(3x+2)/x^2(3^(x^2)-4x^3-1)/(4x^3+2) $ essendo $3x $ , $-4x^3$, $4x^3$ , delle quantità tendenti a zero piu velocemente degli altri termini nelle rispettive somme, possiamo trascurarle, quindi ometterle, il limite diventa pertanto $lim_(x->0)2/x^2×(3^(x^2)-1)/2$ $=lim_(x->0)2/2×(3^(x^2)-1)/x^2$ $=lim_(x->0 )(3 ^(x^2)-1)/x^2$ limite notevole del tipo $lim_(f (x)->0) (a^(f (x))-1)/f (x)=loga $, pertanto nel nostro caso avremo come valore $log3$, giusto?
Adesso sostituendo al limite della forma $e^(f (x))$avremo $e^log3=3$
Capito, impressionante.
Questa cosa, di omettere è legale, parlando matematicamente?
Non vorrei che il mio prof mi ammaz...
Potresti dirmi se cosi, ho fatto bene:
\( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{3x+2}{x^2}\frac{3^{x^2}-4x^3-1}{4x^3+2}}= \)
\( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{(3x+2)(3^{x^2}-4x^3-1)}{x^2(4x^3+2)}}= \)
\( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{(3x+2)(3^{x^2}-4x^3-1)}{2x^2(2x^3+1)}}= \)
\( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{(3x+2)(3^{x^2}-1-4x^3)}{2x^2(2x^3+1)}}= \)
\( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{(3x+2)(\frac{3^{x^2}-1}{x^2}x^2-4x^3)}{2x^2(2x^3+1)}}= \)
\( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{2(\frac{3}{2}x+1)(\frac{3^{x^2}-1}{x^2}x^2-4x^3)}{2x^2(2x^3+1)}}= \)
\( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{(\frac{3}{2}x+1)(\frac{3^{x^2}-1}{x^2}x^2-4x^3)}{x^2(2x^3+1)}}= \)
\( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{(\frac{3}{2}x+1)x^2\left(\frac{3^{x^2}-1}{x^2}-4x\right)}{x^2(2x^3+1)}}= \)
\( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{(\frac{3}{2}x+1)\left(\frac{3^{x^2}-1}{x^2}-4x\right)}{(2x^3+1)}}=log 3 \)
\( \displaystyle e^{ln3}=3 \)
Esiste un altro modo, per poter risolvere questo limite?
Questa cosa, di omettere è legale, parlando matematicamente?
Non vorrei che il mio prof mi ammaz...
Potresti dirmi se cosi, ho fatto bene:
\( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{3x+2}{x^2}\frac{3^{x^2}-4x^3-1}{4x^3+2}}= \)
\( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{(3x+2)(3^{x^2}-4x^3-1)}{x^2(4x^3+2)}}= \)
\( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{(3x+2)(3^{x^2}-4x^3-1)}{2x^2(2x^3+1)}}= \)
\( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{(3x+2)(3^{x^2}-1-4x^3)}{2x^2(2x^3+1)}}= \)
\( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{(3x+2)(\frac{3^{x^2}-1}{x^2}x^2-4x^3)}{2x^2(2x^3+1)}}= \)
\( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{2(\frac{3}{2}x+1)(\frac{3^{x^2}-1}{x^2}x^2-4x^3)}{2x^2(2x^3+1)}}= \)
\( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{(\frac{3}{2}x+1)(\frac{3^{x^2}-1}{x^2}x^2-4x^3)}{x^2(2x^3+1)}}= \)
\( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{(\frac{3}{2}x+1)x^2\left(\frac{3^{x^2}-1}{x^2}-4x\right)}{x^2(2x^3+1)}}= \)
\( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{(\frac{3}{2}x+1)\left(\frac{3^{x^2}-1}{x^2}-4x\right)}{(2x^3+1)}}=log 3 \)
\( \displaystyle e^{ln3}=3 \)
Esiste un altro modo, per poter risolvere questo limite?
Scusa sono stanco , e magar scrivo eresie, $3^(x^2)=e^(x^2log3)~~1+x^2log3$ in quanto $lim_(x->0)(e^(x^2log3)-1)/(x^2log3)=1$, sostituendo si ha $lim_(x->0)(2/x^2)×(1+x^2log3-4x^3-1)/2$ $=lim_(x->0)(2/x^2)×(x^2log3/2) =log3$, avendo potuto trascurare il termine $-4x^3$ , che tende a zero più velocemente rispetto ad $x^2log3$.
Allora volendo utilizzare solo il limite notevole, si può scrivere:
$lim_(x->0)(3x+2)/x^2×(3^(x^2)-4x^3-1)/(4x^3+2 ) $ $=lim_(x->0)(3x+2)/(4x^3+2)×(3^(x^2)-4x^3-1)/x^2$, fin qui ho solo commutato i fattori a denominatore , $=lim_(x->0)(3x+2)/(4x^3+2)×lim_(x->0)(3^(x^2)-4x^3-1)/x^2$ $=lim_(x->0)(0+2)/(0+2)lim_(x->0)((3^(x^2)-1)/x^2-4x^3/x^2) $ $=lim_(x->0)(2/2)lim_(x->0)((3^(x^2)-1)/x^2-4x) $ $=1×lim_(x->0)((3^(x^2)-1)/x^2-0 ) $ $=lim_(x->0)(3^(x^2)-1)/x^2=log3$, sapendo che $lim_(f (x)->0)(a^(f (x))-1)/(f (x))=loga $, in questo modo i passaggi risultano leciti , e lo svolgimento è più snello.
Sostituendo si ha ovviamente $e (log3)=3$.
Come hai fatto tu, comunque va bene infatti hai:
$lim_(x->0)(3x/2+1)((3^(x^2)-1)/x^2-4x)/(2x^3+1) $ $= lim_(x->0 )(0+1)((3^(x^2)-1)/x^2-0)/(0+1) $ $=lim_(x->0)(3^(x^2)-1)/x^2=log3$
Non credo che ci siano altri modi per arrivare alla soluzione se non quelli descritti, in precedenza ho usato la forma $e^(log((3^(x^2)+1)/(4x^3+2))^((3x+2)/x^2))$, per questo spuntava il logaritmo.
$lim_(x->0)(3x+2)/x^2×(3^(x^2)-4x^3-1)/(4x^3+2 ) $ $=lim_(x->0)(3x+2)/(4x^3+2)×(3^(x^2)-4x^3-1)/x^2$, fin qui ho solo commutato i fattori a denominatore , $=lim_(x->0)(3x+2)/(4x^3+2)×lim_(x->0)(3^(x^2)-4x^3-1)/x^2$ $=lim_(x->0)(0+2)/(0+2)lim_(x->0)((3^(x^2)-1)/x^2-4x^3/x^2) $ $=lim_(x->0)(2/2)lim_(x->0)((3^(x^2)-1)/x^2-4x) $ $=1×lim_(x->0)((3^(x^2)-1)/x^2-0 ) $ $=lim_(x->0)(3^(x^2)-1)/x^2=log3$, sapendo che $lim_(f (x)->0)(a^(f (x))-1)/(f (x))=loga $, in questo modo i passaggi risultano leciti , e lo svolgimento è più snello.
Sostituendo si ha ovviamente $e (log3)=3$.
Come hai fatto tu, comunque va bene infatti hai:
$lim_(x->0)(3x/2+1)((3^(x^2)-1)/x^2-4x)/(2x^3+1) $ $= lim_(x->0 )(0+1)((3^(x^2)-1)/x^2-0)/(0+1) $ $=lim_(x->0)(3^(x^2)-1)/x^2=log3$
Non credo che ci siano altri modi per arrivare alla soluzione se non quelli descritti, in precedenza ho usato la forma $e^(log((3^(x^2)+1)/(4x^3+2))^((3x+2)/x^2))$, per questo spuntava il logaritmo.
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