Limite

[angelox9]

Salve a tutti, ho il seguente limite:

\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \frac{1}{x^3(1-cos\frac{ln x}{x})}=
\)
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \frac{1}{x^3}\frac{1}{\frac{1-cos\frac{ln x}{x}}{\frac{ln^2 x}{x^2}}}\frac{x^2}{ln^2 x}=
\)
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \frac{1}{\frac{1-cos\frac{ln x}{x}}{\frac{ln^2 x}{x^2}}}\frac{1}{xln^2 x}=0 \)

Volevo sapere se sto sbagliando qualcosa nei passaggi.

[Anacleto13]

Il limite è giusto in entrambi i casi.. ma senza applicare tutte quelle moltiplicazioni/divisioni.. conosci le equivalenze asintotiche?

$1-cos(t) ~ 1/2t^2$ per t che tende a 0

[angelox9]

Dici che entrambi i limiti sia l'altro che questo sono giusti?

Quindi dici che avresti fatto cosi semplicemente, considerando: $ 1-cos(t) ~ 1/2t^2 $ per t che tende a 0

\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty } \frac{1}{x^3(1-cos\frac{ln x}{x})}= \)

\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty } \frac{2}{x^3(\frac{ln x}{x})^2 }= \)

\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty } \frac{2}{x^3\frac{ln^2 x}{x^2} }= \)

\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty } \frac{2}{xln^2 x}= 0 \)

Correct?

[Anacleto13]

Esatto