Limite
Stavo cercando di risolvere il seguente limite in due variabili:
$lim_((x,y)->(-1,0))sin (x+y+1)/(1+3log (x+y+2)-e^(x+y+1)) $, ed ho osservato che lo si può scrivere in un limite equivalente in una variabile ponendo $(x+y+1)=t $ ed a questo punto lo riscrivo come $lim_(t->0) sint/(1+3log (t+1)-e^t) $, ed usando gli asintotici si ha $lim_(t->0 )t/(1+3t-1-t) $ $=lim_(t->0)t/(2t)=$ $1/2$, secondo voi è corretto il procedimento, oppure era meglio effettuare la sostituzione $z=(x+1) $, e riscrivere il limite in due variabili $lim_((z,y)->(0,0))sin(y+z)/(1+3log (z+y+1)-e^(z+y) =1/2$?
$lim_((x,y)->(-1,0))sin (x+y+1)/(1+3log (x+y+2)-e^(x+y+1)) $, ed ho osservato che lo si può scrivere in un limite equivalente in una variabile ponendo $(x+y+1)=t $ ed a questo punto lo riscrivo come $lim_(t->0) sint/(1+3log (t+1)-e^t) $, ed usando gli asintotici si ha $lim_(t->0 )t/(1+3t-1-t) $ $=lim_(t->0)t/(2t)=$ $1/2$, secondo voi è corretto il procedimento, oppure era meglio effettuare la sostituzione $z=(x+1) $, e riscrivere il limite in due variabili $lim_((z,y)->(0,0))sin(y+z)/(1+3log (z+y+1)-e^(z+y) =1/2$?
Risposte
La sostituzione va bene, però fai attenzione quando utilizzi le asintotiche equivalenze con le somme. In questo caso non hai problemi, ma in generale potrebbe venirti un risultato diverso.
Ad esempio, se dovessimo calcolare il limite $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^3}$ e usassimo "ingenuamente" le asintotiche equivalenze, avremmo che il numeratore si annullerebbe e quindi il limite verrebbe $0$, ma ciò è falso.
Per evitare questo genere di problemi, conviene sempre portarsi dietro il giusto o-piccolo. In effetti, così facendo ci acorgeremmo che il numeratore è un $o(x)$ e non potremmo calcolare il limite di $\frac{o(x)}{x^3}$ perché è una forma indeterminata e saremmo costretti a usare uno sviluppo di ordine superiore (l'asintotica equivalenza è semplicemente uno sviluppo al primo ordine).
Ad esempio, se dovessimo calcolare il limite $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^3}$ e usassimo "ingenuamente" le asintotiche equivalenze, avremmo che il numeratore si annullerebbe e quindi il limite verrebbe $0$, ma ciò è falso.
Per evitare questo genere di problemi, conviene sempre portarsi dietro il giusto o-piccolo. In effetti, così facendo ci acorgeremmo che il numeratore è un $o(x)$ e non potremmo calcolare il limite di $\frac{o(x)}{x^3}$ perché è una forma indeterminata e saremmo costretti a usare uno sviluppo di ordine superiore (l'asintotica equivalenza è semplicemente uno sviluppo al primo ordine).
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